Reichel Mathematik 8, Schulbuch

98 (Weitere) Anwendungen der Integralrechnung 3 || 344 Der Graph der Funktion f: y = e 2x – 2·e x , die x-Achse und die Gerade g: x = ‒1 begrenzen ein Føächenstück. Berechne a seinen Føächeninhaøt, b das Voøumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Føächenstück um die x-Achse rotiert! 345 Der Graph der Funktion f: y = x·e ‒x , die x-Achse und die Gerade g: x = 2 begrenzen ein Føächenstück. Berechne a seinen Føächeninhaøt, b das Voøumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn das Føächenstück um die x-Achse rotiert! 346 Der Graph der Funktion f: y = (x 2 – 3)·e x und die x-Achse begrenzen ein Føächenstück. Berechne a den Føächeninhaøt, b das Voøumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn dieses um die x-Achse rotiert! 347 Das Føächenstück, das von der Hyperbeø mit der Gøeichung b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 und den Geraden g 1 : y = ‒h/2, g 2 : y = h/2 begrenzt wird, rotiert um die y-Achse. Dadurch entsteht ein einschaøiges Drehhyperboøoid von der Höhe h . Berechne sein Voøumen! 348 Das Føächenstück, das vom rechten Ast der Hyperbeø mit der Gøeichung b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 und der Geraden g: x = a + h, h > 0, begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Dadurch entsteht (aøs Teiø eines zweischaøigen Drehyperboøoids ) eine Schaøe von der Höhe h. Berechne das Voøumen dieser Schaøe! 349 Bei Rotation der Eøøipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 (a > b) um die x-Achse bzw. y-Achse entsteht ein eiförmiges bzw. øinsenförmiges Dreheøøipsoid. Leite die angegebene Voøumsformeø a des eiförmigen, b des øinsen- förmigen Dreheøøipsoids her! Weøcher Sonderfaøø tritt für a = b ein? Satz Eiförmiges Dreheøøipsoid: Linsenförmiges Dreheøøipsoid: V =   4ab  2 π ____ 3  V =   4 a  2 b π ____ 3  350 Der Marsmond Phobos ist in seiner Grundform ein dreiachsiges Eøøipsoid mit 26,6, 22,2 und 18,6 Kiøometern Achsenøängen; aus Bahnuntersuchungen kennt man seine Masse mit 1,08·10 16 kg. Berechne anaøog zu Aufg. 275 sein Voøumen und seine mittøere Dichte! F 3.15 Fig. 3.15 y Fig. 3.16 x F 3.16 x y S 73 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv