Mathematik HTL 2, Schulbuch

12 Quadratische Funktionen Damit erhalten wir schon ein recht gutes Bild des Graphen von g. Wir können zum Zeichnen auch benutzen, dass für alle Zahlen z die Funktionswerte von z und ‒ z bezüglich g, also die Quadrate von z und von ‒ z, gleich sind. Wir haben zum Zeichnen des Graphen von g noch eine andere Eigenschaft verwendet: Man kann den Graphen dieser Funktion „in einem Zug, ohne abzusetzen“ mit einem Bleistift zeichnen. Warum das so ist, können wir nächstes Jahr begründen. Wenn wir von einer Funktion f die Funktionswerte f(a) und f(b) für zwei Zahlen a, b mit a < b kennen und wenn diese Funktion auf [a; b] streng monoton wachsend (oder fallend) ist, dann wissen wir: Für alle Zahlen z * [a; b] muss f(z) im Intervall [f(a); f(b)] (oder [f(b); f(a)]) liegen. Beispiel: π liegt im Intervall [3,14; 3,15]. Also liegt π 2 im Intervall [3,14 2 ; 3,15 2 ] = [9,8596; 9,9225] und der Fehler, den wir machen, wenn wir π 2 als 9,9 anschreiben, ist kleiner als 0,05. 11 Zeige, dass die Funktion f: R ¥ R , x ¦ 3x + 1 auf R streng monoton wachsend ist. Mit a und b bezeichnen wir zwei reelle Zahlen, für die a < b gilt. Wir müssen zeigen, dass f(a) < f(b) ist. Wegen a < b ist auch 3a < 3b und 3a + 1 < 3b + 1. Also ist f(a) = 3a + 1 < 3b + 1 = f(b). Daher ist die Funktion f auf R streng monoton wachsend. 12 Zeige, dass die lineare Funktion f mit f(x) = 5x – 4 auf R streng monoton wachsend ist. 13 Zeige, dass die lineare Funktion f mit f(x) = ‒ 2x + 1 auf R streng monoton fallend ist. 14 Überlege: Kann eine konstante Funktion auf R streng monoton wachsend oder streng monoton fallend sein? Begründe. 15 Wie kann man aus der Änderungsrate k einer linearen Funktion erkennen, ob diese Funktion auf R streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist? Begründe. 16 Untersuche für drei verschiedene positive Zahlen a, wo die Funktion f mit f(x) = a·x 2 streng monoton wachsend oder fallend ist, und zeichne den Graphen dieser Funktion. 17 Stelle den Graphen der Funktion f mit f(x) = ax 2 für a aus [‒ 2; 2] mithilfe einer DGS (Schiebe- regler für a) dar. Lies für a = ‒ 2, ‒1, 0, 1 und 2 ab, wo die Funktion streng monoton wachsend bzw. fallend ist. 18 Welche der Funktionen sind auf R streng monoton wachsend? Begründe. A a: R ¥ R , z ¦ 3z D d: R ¥ R , x ¦ 5 – x G g: R ¥ R , z ¦ ‒ 8 B b: R ¥ R , x ¦ 3 E e: R ¥ R , z ¦ ‒ 5 H h: R ¥ R , x ¦ ‒ 8 + x C c: R ¥ R , z ¦ 1 _ 10 ·z – 4 F f: R ¥ R , x ¦ 100 – x _ 10 I i: R ¥ R , z ¦ ‒ 2 – 1 _ 2 z x -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 0 -1 streng monoton fallend streng monoton wachsend g x 1 a z b y 0 1 f(z) f(b) f(a) (z 1 f(z)) D zeigen, dass eine Funktion streng monoton wachsend ist D D D D B, C B, C ggb gk98ar D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv