Mathematik HTL 2, Schulbuch

176 5.6 Parabel und Kreis Ich lerne den Graphen einer quadratischen Funktion als Parabel zu interpretieren und deren Leitlinie und Brennpunkt zu berechnen. Ich lerne eine Parabel, deren Leitlinie parallel zur ersten Koordinatenachse ist, als Graph einer quadratischen Funktion zu interpretieren und diese Funktion zu berechnen. Ich lerne die Gleichung eines Kreises kennen und daraus seinen Mittelpunkt und seinen Radius zu berechnen. Parabel Wenn g eine Gerade in der Ebene und F ein Punkt der Ebene ist, der nicht auf g liegt, dann heißt die Menge aller Punkte, deren Abstand zu F gleich ihrem Abstand zur Geraden g ist, die Parabel mit Leitlinie g und Brennpunkt F . Der Strecken- mittelpunkt S der Strecke zwischen F und seinem Fußpunkt des Lotes auf g heißt Scheitel der Parabel . Mit b bezeichnen wir eine von 0 verschiedene Zahl. Wenn g die zur ersten Koordinatenachse parallele Gerade durch den Punkt (0 1 ‒b) ist und F = (0 1 b) ist, dann ist der  Abstand eines Punktes (x 1 y) zu g gleich † y + b † und der  Abstand von (x 1 y) zu (0 1 b) ist 9 ______ x 2 + (y – b) 2 . Da beide Zahlen positiv sind, sind sie genau dann gleich, wenn ihre Quadrate gleich sind. Also liegt der Punkt (x 1 y) genau dann auf der Parabel mit Leit- linie {(0 1 ‒b) + c·(1 1 0) ‡ c * R} und Brennpunkt (0 1 b), wenn (y + b) 2 = x 2 + (y – b) 2 ist. Ausmultiplizieren ergibt y 2 + 2by + b 2 = x 2 + y 2 – 2by + b 2 und Umformen schließlich y = 1 _ 4b x 2 . Daraus folgt: Die Parabel mit Leitlinie {(0 1 ‒b) + c·(1 1 0) ‡ c * R} und Brennpunkt (0 1 b) ist die Menge { (x 1 y) † x * R , y = 1 _ 4b x 2 } , also der Graph der quadratischen Funktion x ¦ 1 _ 4b x 2 . Der Scheitel dieser Parabel ist (0 1 0). Insbesondere ist der Graph der quadratischen Funktion x ¦ x 2 die Parabel mit Leitlinie { 2 0 1 ‒ 1 _ 4 3 + c·(1 1 0) † c * R } und Brennpunkt 2 0 1 1 _ 4 3 . Beispiel: Der Graph der quadratischen Funktion g mit g(x) = ‒ x 2 ist die Parabel mit der Leitlinie { 2 0 1 1 _ 4 3 + c·(1 1 0) † c * R } . Der Brennpunkt hat die Koordinaten 2 0 1 ‒ 1 _ 4 3 . ggb hz9k5c d d F S P g Parabel y x g F = (0 1 b) (x 1 - b) (x 1 y) y x 1 0 1 g 1 4 0 1 - ( ) F Graph von 1 _ 4b x 2 als Parabel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv