Mathematik HTL 2, Schulbuch

188 Trigonometrie 883 Arbeitet in Zweiergruppen. Jeder von euch zeichnet ein beliebiges Dreieck und bezeichnet dessen Seiten und Winkel beliebig, aber eindeutig. Jeder formuliert dann für sein Dreieck Sinus- und Cosinussatz. Tauscht nun die Dreiecke und kontrolliert, ob Sinus- und Cosinussatz richtig formuliert wurden. 884 Beweise, dass für rechtwinkelige Dreiecke der Satz von Pythagoras und der Cosinussatz für den rechten Winkel übereinstimmen. 885 Stimmt die Behauptung, dass der Sinussatz in rechtwinkeligen Dreiecken nicht gilt? Begründe. Seiten und Winkel des Dreiecks Wenn wir von einem Dreieck nicht alle Seitenlängen und Winkel kennen, können wir die fehlenden wie folgt berechnen:  Wenn wir die drei Seitenlängen a, b, c kennen, dann können wir die Winkel (genauer gesagt, ihren Cosinus) mithilfe des Cosinus- satzes berechnen: Zum Beispiel ist cos( α ) = b 2 + c 2 – a 2 __ 2bc .  Wenn wir nur zwei Seitenlängen , zum Beispiel b und c, kennen, dann müssen wir mindestens noch einen der Winke l kennen, um die fehlende Seitenlänge berechnen zu können. – Wenn wir den von den bekannten Seiten eingeschlossenen Winkel α kennen, dann berechnen wir a mithilfe des Cosinus- satzes: a 2 = b 2 + c 2 – 2·b·c·cos( α ). Einen zweiten Winkel berech- nen wir dann mithilfe des Cosinussatzes wie oben, oder mithilfe des Sinussatzes. Da die Winkelsumme im Dreieck gleich 180° (bzw. π) ist, kennen wir damit auch den dritten Winkel. – Wenn wir einen der anderen zwei Winkel, zum Beispiel γ , kennen, berechnen wir den Winkel β mithilfe des Sinussatzes: sin( β ) = b· sin( γ ) _ c . Nun muss man aber aufpassen: sin( β ) = sin(180° – β )! Es gibt also zwei Möglichkeiten für den gesuchten Winkel β . Wenn wir uns für eine entschieden haben, ist α = 180° – ( β + γ ), da die Winkelsumme im Dreieck gleich 180° ist. Die Seitenlänge a kann dann am einfachsten mit dem Sinussatz berechnet werden.  Wenn wir nur eine Seitenlänge , zum Beispiel c, kennen, dann müssen wir mindestens noch zwei Winkel kennen, um das Dreieck zeichnen zu können. Da die Winkelsumme im Dreieck gleich 180° ist, kennen wir damit auch den dritten Winkel. Nun können wir mithilfe des Sinussatzes die fehlenden Seitenlängen berechnen.  Wenn wir nur die drei Winkel , aber keine Seitenlänge kennen, können wir das Dreieck nicht zeichnen. Zum Beispiel hat jedes gleichseitige Dreieck (mit beliebiger Seitenlänge) die Winkel α = β = γ = 60°. Beachte, dass die Seitenlängen nicht beliebig gewählt werden können. Es gibt zum Beispiel kein Dreieck mit den Seitenlängen 1, 2, 10. Überlege anhand einer Zeichnung, warum. A, D D D ô õ ó B A b a c C ô õ ó B A b a c C ô 1 ô 2 õ ó 1 ó 2 B 1 A b a 1/2 c c C B 2 ô õ ó B A b a c C ó ó ó ó ó ó a a a b b b Nur zu Prüfzwe ken – Eigentum des Verlags öbv