Mathematik HTL 2, Schulbuch

189 6.1 Dreiecke Wir fassen diese Überlegungen in einer Tabelle zusammen: gegeben sind berechnet wird Berechnung mithilfe von drei Seiten beliebiger Winkel Cosinussatz zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel dritte Seite Cosinussatz zwei Seiten und ein Winkel, der einer der beiden Seiten gegenüberliegt weiterer Winkel Sinussatz eine Seite und zwei Winkel weitere Seite Sinussatz drei Winkel durch drei Winkel allein ist ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt 886 Berechne die Winkel, die Höhen und die Fläche des Dreiecks, von dem folgende Bestimmungs- stücke gegeben sind: a = 6 cm, β = 34,5°, γ = 125,67° Es sind eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gegeben. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Wir können daher den Winkel α berechnen: α = 180 – β – γ = 19,83° Mit dem Sinussatz können wir die Seitenlängen b und c berechnen: sin( α ) _ a = sin( β ) _ b w b = a· sin( β ) _ sin( α ) = 10,018 cm sin( α ) _ a = sin( γ ) _ c w c = a· sin( γ ) _ sin( α ) = 14,369 cm Die Fläche des Dreiecks ist 1 _ 2 a·b·sin( γ ) = 24,416 cm 2 . Die Fläche des Dreiecks ist 1 _ 2 a·h a = 1 _ 2 b·h b = 1 _ 2 c·h c = 24,416 cm 2 . Daher ist h a = 2· 24,416 _ a = 48,831 _ 6 = 8,139 cm, h b = 2· 24,416 _ b = 48,831 _ 10,018 = 4,874 cm, h c = 2· 24,416 _ c = 48,831 _ 14,369 = 3,398 cm. 887 Berechne die fehlenden Winkel und Seitenlängen des Dreiecks, von dem folgende Seitenlängen und Winkel gegeben sind: a = 5 cm, b = 6 cm, α = 35°. Es sind zwei Seiten und ein anliegender Winkel gegeben, wir können daher mit dem Sinussatz einen weiteren Winkel berechnen: sin( β ) = b· sin( α ) _ a = 6· 0,574 _ 5 = 0,689 β 1 = 43,55°. Wegen sin( β ) = sin(180° – β ) ist auch β 2 = 180° – β 1 = 136,45° eine Lösung. Wir erhalten also zwei Dreiecke. Für beide gilt, γ = 180 – α – β daher ist γ 1 = 101,45° und γ 2 = 8,55°. Die Seite c berechnen wir mit dem Sinussatz: c = a· sin( γ ) _ sin( α ) Für γ 1 = 101,45° berechnen wir c 1 = 5· sin(101,45) _ sin(35) = 8,54 cm und für γ 2 = 8,55° berechnen wir c 2 = 5· sin(8,55) _ sin(35) = 1,30 cm. Wir erhalten also ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 6 cm und c 1 = 8,54 cm und ein zweites Dreieck mit a = 5 cm, b = 6 cm und c 2 = 1,30 cm. B mcd/tns zm7243 Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks berechnen, wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind ô õ ó b a c B mcd/tns y7bu88 Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv