Mathematik HTL 2, Schulbuch

192 Trigonometrie Berechnungen am Parallelogramm und Trapez Parallelogramm Wir betrachten ein Parallelogramm mit den Eckpunkten A, B, C und D. A und C liegen einander gegenüber, ebenso B und D. Den Winkel bei A bezeichnen wir mit α . Dann ist der Winkel bei B gleich 180° – α , der Winkel bei C ist wieder α und der bei D ist gleich 180° – α . Kennen wir daher in einem Parallelogramm einen einzigen Winkel, dann kennen wir alle. Wir bezeichnen die Länge der Strecke AB mit a, die Länge der Strecke BC mit b, die Länge der Strecke AC (der ersten Diagonale) mit e und die Länge der Strecke BD (der zweiten Diagonale) mit f. Wir können das Parallelogramm in die zwei kongruenten Dreiecke ¶ ABC und ¶ ACD zerlegen, oder auch in die Dreiecke ¶ ABD und ¶ BCD. Wir können daher das, was wir uns für Dreiecke gerade überlegt haben, auf Parallelogramme erweitern. Wenn wir zum Beispiel a, b und e kennen, berechnen wir mit dem Cosinussatz den Winkel 180° – α bei B und damit kennen wir α . Anschließend ermitteln wir mit dem Cosinussatz die Länge f der zweiten Diagonale. Trapez Wir betrachten nun ein Trapez mit den Eckpunkten A, B, C und D. Die Gerade durch A und B ist parallel zur Geraden durch C und D. Der Winkel bei A sei α , der bei B sei β , der Winkel bei C ist dann 180° – β und der bei D gleich 180° – α . Wir bezeichnen die Längen der Seiten und der Diagonalen wie in der Abbildung. 900 Berechne die fehlenden Winkel, Längen der Seiten und Diagonalen, sowie die Fläche des Trapezes, wenn a = 8 cm, d = 2 cm, β = 74,5° und f = 7cm ist. Wir berechnen den Winkel α mit dem Cosinussatz aus den Seitenlängen a, d und f. cos( α ) = a 2 + d 2 – f 2 __ 2ad = 64 + 4 – 49 __ 32 = 0,594 und α = 53,56°. Dann berechnen wir mit dem Sinussatz den Winkel β 1 bei B im Dreieck ¶ ABD. sin( β 1 ) _ d = sin( α ) _ f , also ist sin( β 1 ) = d· sin( α ) _ f = 2· 0,804 _ 7 = 0,230 und β 1 = 13,30°. Der Winkel bei B im Dreieck ¶ CBD ist dann β – β 1 = 61,2° und der Winkel bei D im Dreieck ¶ CBD ist β 1 = 13,30°. Nun berechnen wir b und c, die Längen der Strecken BC und CD, mit dem Sinussatz. sin( β 1 ) _ b = sin( β – β 1 ) __ c = sin(180 – β ) __ f = 0,964 _ 7 = 0,138, daher ist b = sin( β 1 ) _ 0,138 = 1,67cm und c = sin( β – β 1 ) __ 0,138 = 6,35 cm. Die Fläche des Trapezes ist 1 _ 2 (a + c)·h, dabei ist h = sin( α )·d der Abstand des Punktes D von der Geraden durch A und B. Daher ist die Fläche des Trapezes gleich 1 _ 2 (8 + 6,35)·0,804·2 = 11,54 cm 2 . Schließlich berechnen wir e mit dem Cosinussatz. e 2 = a 2 + b 2 – 2ab·cos( β ) = 64 + 2,789 – 26,72·0,267 = 59,65 cm 2 , also ist e = 7,72 cm. ó A B D C a b b a f e A B D D C C A B D A B C 180° – ó 180° – ó ó A B C D c d b a e f ó Ă – ó Ă – ô ô B Berechnungen am Trapez mcd/tns u49ni6 A B C D d a f ô ô 1 ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv