Mathematik HTL 2, Schulbuch

199 6.2 Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion Ich lerne Aussagen über Winkelfunktionswerte zu begründen. Ich lerne mein Wissen über die Eigenschaften der Winkelfunktionen anzuwenden, um die Graphen der Winkelfunktionen zu zeichnen. Ich lerne mein Wissen über die Eigenschaften der Winkelfunktionen anzuwenden, um aus dem Graphen einer Winkelfunktion die Winkelfunktion zu bestimmen. Ich lerne einen periodischen Vorgang durch eine Winkelfunktion zu beschreiben und diese Funktion zu verwenden, um Fragen zum Vorgang zu beantworten. Drehwinkel – Erweiterung des Winkelbegriffs Wir haben den Winkel zwischen zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt S als die Länge des kürzeren Bogens, der von den Halbgeraden aus dem Kreis mit Mittelpunkt S und Radius 1 herausgeschnitten wird, definiert. Dieser Winkel ist eine Zahl zwischen 0 und π bzw. zwischen 0° und 180°. Das reicht aus, solange wir nur Winkel in Dreiecken oder Winkel zwischen Geraden betrachten. Um Drehungen um einen Punkt in der Ebene zu beschreiben, brauchen wir auch „größere“ Winkel. Wenn wir eine Schraube oder einen Drehschalter um einen bestimmten Winkel drehen wollen, müssen wir zuerst den Umlaufsinn festlegen. Es gibt zwei Möglichkeiten: Wir können im oder gegen den Uhrzeigersinn drehen. Wir entscheiden uns für den Umlaufsinn gegen den Uhrzeiger- sinn. Für zwei Punkte P und Q auf dem Einheitskreis mit Mittel- punkt S definieren wir den Drehwinkel von P nach Q (oder von der Halbgeraden mit Anfangspunkt S durch den Punkt P zur Halbgeraden mit Anfangspunkt S durch den Punkt Q) als Länge des Kreisbogens, der gegen den Uhrzeigersinn von P nach Q führt. Ein Drehwinkel ist also eine Zahl zwischen 0 und 2 π . Häufig sagt man statt Drehwinkel einfach wieder Winkel . Tipp Wie erkennt man, ob ein Drehwinkel gemeint ist? Wenn wir vom Winkel von P nach Q sprechen (also eine Reihenfolge der zwei Punkte bzw. der entsprechenden Halbgeraden festlegen), ist ein Drehwinkel gemeint, sonst sprechen wir wie bisher vom Winkel zwischen P und Q (oder, gleich- bedeutend: zwischen Q und P). Wenn der Winkel von P nach Q gleich α ist, dann ist der Winkel von Q nach P gleich 2 π – α . Wenn wir einmal im Uhrzeigersinn um den Winkel α drehen wollen, sagen wir, dass wir um den Winkel ‒ α drehen. Natürlich können wir auch Drehwinkel in Grad, Minuten und Sekunden angeben. Es ist 1° = 2 π _ 360 = π _ 180 , 1’ = 2 1 _ 60 3 ° = π _ 180·60 , 1’’ = 2 1 _ 60 3 ’ = π __ 180·60 2 . Beispiele: 2 π = 360°, 3 π _ 4 = 270° und 12· π _ 11 ≈ 196° 21’ 49’’ 942 Gib den Drehwinkel in Grad, Minuten und Sekunden an. a. π _ 3 b. π _ 5 c. 4 π _ 5 d. 1 e. 4,12 f. 6,2 Drehwinkel (1 1 0) Q y x S P 2 πα und ‒ α Drehwinkel im Gradmaß B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv