Mathematik HTL 2, Schulbuch

21 1.3 Nullstellen quadratischer Funktionen – quadratische Gleichungen 57 Die Abbildung stellt den Graphen von f mit f(x) = x 2 + c dar. Bestimme c und die Nullstellen der Funktion durch Ablesen aus dem Graphen. a. b. c. d. 58 Berechne alle Nullstellen der quadratischen Funktion f. a. f(x) = x 2 c. f(x) = x 2 – 4 _ 9 e. f(x) = 2x 2 – 1 _ 2 g. f(x) = 10 5 x 2 – 10 9 b. f(x) = x 2 – 4 d. f(x) = x 2 + 9 f. f(x) = 4x 2 + 3 h. f(x) = 10 7 x 2 + 10 4 59 Gib an, wie viele Nullstellen die quadratische Funktion f hat. Begründe. a. f(x) = x 2 – 7 b. f(x) = x 2 – 25 c. f(x) = x 2 + 5 d. f(x) = 1 _ 2 x 2 + 2 Quadratische Gleichungen – Nullstellen der Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c Die Aufgabe, alle Nullstellen einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c zu berechnen, also alle reellen Zahlen x mit der Eigenschaft ax 2 + bx + c = 0 zu finden, heißt quadratische Gleichung . Wir schreiben dafür oft einfach „Löse die Gleichung ax 2 + bx + c = 0“. Dabei kann statt x auch jedes andere Symbol gewählt werden. Weil a nicht 0 ist, ist jede Lösung von ax 2 + bx + c = 0 auch eine Lösung von x 2 + b _ a x + c _ a = 0. Wir schreiben p für b _ a und q für c _ a , also x 2 + px + q = 0. Um eine quadratische Gleichung zu lösen, schreiben wir die quadratische Funktion f durch quadratisches Ergänzen in Scheitelform um: f(x) = x 2 + px + q = 2 x + p _ 2 3 2 + 2 ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 Für eine Nullstelle x von f muss daher gelten: 2 x + p _ 2 3 2 + 2 ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 = 0 | ‒ 2 ‒ 2 p _ 2 3 2 + q 3 2 x + p _ 2 3 2 = 2 p _ 2 3 2 – q Wenn 2 p _ 2 3 2 – q < 0 ist, gibt es keine Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist. Wenn 2 p _ 2 3 2 – q º 0 ist, dann ist x + p _ 2 = ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q |‒ p _ 2 x = ‒ p _ 2 ± 9 ____ 2 p _ 2 3 2 – q. Die Zahl 2 p _ 2 3 2 – q ist genau dann º 0, wenn p 2 – 4q º 0 ist. Wir nennen D = p 2 – 4q die Diskriminante der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0. Wenn D > 0 ist, hat die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 zwei verschiedene Lösungen. Wenn D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 genau eine Lösung. Wenn D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 keine reelle Zahl als Lösung. C x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 B D quadratische Gleichung Diskriminante Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv