Mathematik HTL 2, Schulbuch

244 Matrizenrechnung Multiplikation von Matrizen Ein Betrieb stellt aus vier verschiedenen Rohstoffen zwei Endprodukte her. Dabei werden die Rohstoffe zunächst zu drei Zwischenprodukten verarbeitet, aus denen dann die Endprodukte entstehen. Die Anzahl der Einheiten der einzelnen Rohstoffe R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , die für die Zwischen- produkte Z 1 , Z 2 , Z 3 benötigt werden, bzw. die Anzahl der Einheiten der Zwischenprodukte Z 1 , Z 2 , Z 3 , die zur Erzeugung der Endprodukte E 1 und E 2 benötigt werden, sind durch einen Gozinto- graphen dargestellt. Man spricht von einem Materialfluss von den Rohstoffen über die Zwischenprodukte zu den Endprodukten. Wir fassen die im Gozintographen dargestellten Daten in zwei Matrizen zusammen: A = 2 3 2 4 2 2 7 1 3 1 0 6 1 3 B = 2 2 1 6 4 5 2 3 Die 4×3-Matrix A beschreibt die Herstellung der Zwischenprodukte aus den Rohstoffen, die 3×2-Matrix B die Herstellung der Endprodukte aus den Zwischenprodukten. Wie viele Rohstoffeinheiten werden zur Herstellung von einer Einheit von E 1 bzw. von einer von Einheit E 2 benötigt? Da 4 Rohstoffe für die Erzeugung der 2 Endprodukte verwendet werden, können wir das durch eine 4×2-Matrix beschreiben: D = 2 D 11 D 21 D 31 D 41 D 12 D 22 D 32 D 42 3 Wir überlegen uns, wie wir den Koeffizienten D 11 der Matrix D berechnen können. Dazu betrachten wir alle möglichen Übergänge von R 1 zu E 1 im Gozintographen. Wir sehen, dass drei „Wege“ möglich sind: R 1 ¥ Z 1 ¥ E 1 R 1 ¥ Z 2 ¥ E 1 R 1 ¥ Z 3 ¥ E 1 Wir rechnen also: 3·2 + 2·1 + 1·6 = 14 Wir hätten diese Rechnung auch als Produkt der 1. Zeile der Matrix A mit der 1. Spalte der Matrix B schreiben können. Analog überlegen wir uns, wie wir den Koeffizienten D 12 von D berechnen können und betrachten alle möglichen Übergänge von R 1 zu E 2 im Gozintographen. Es sind wieder drei „Wege“ möglich: R 1 ¥ Z 1 ¥ E 2 R 1 ¥ Z 2 ¥ E 2 R 1 ¥ Z 3 ¥ E 2 Wir rechnen also: 3·4 + 2·5 + 1·2 = 24 Wir hätten diese Rechnung auch als Produkt der 1. Zeile der Matrix A mit der 2. Spalte der Matrix B schreiben können. ggb 9pc72a Z 1 Z 3 Z 2 E 1 E 2 R 1 R 2 R 4 R 3 2 4 1 5 6 2 3 1 2 7 0 4 1 6 2 3 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv