Mathematik HTL 2, Schulbuch

93 3.2 Logarithmen und Logarithmusfunktionen 409 Die Dämpfung a von Signalen wird in Dezibel (dB) angegeben. Es ist a = 10·lg 2 P E _ P A 3 dB, dabei ist P E die Eingangsleistung und P A die Ausgangsleistung. a. Die Leistung eines Signals nimmt in einer Leitung von 5mW auf 3mW ab. Berechne, wie groß die Dämpfung ist. b. Ein Glasfaserkabel hat eine Dämpfung von 2,5dB pro km. Ermittle, um wie viel Prozent die Lichtleistung in dieser Glasfaser auf einer Länge von 3 km abnimmt. 410 Der Schallpegel L p wird in Dezibel (dB) angegeben. Es ist L P = 20·lg 2 p _ p 0 3 dB, dabei ist p der Schall- druck in μ Pa und p 0 = 20μPa der Schalldruck der Hörschwelle. a. Ein Presslufthammer erzeugt einen Schalldruck von 2Pa. Berechne den Schallpegel. b. Eine menschliche Stimme erzeugt beim Sprechen einen Schallpegel von 50dB. Gib an, wie groß dabei der Schalldruck ist. c. Wenn 10 Menschen gleichzeitig sprechen, so verzehnfacht sich dadurch der Schalldruck. Ermittle, auf wie viel Dezibel der Schallpegel steigt, wenn 10 Personen gleichzeitig (jeweils mit 50dB) sprechen. 411 Bei Verstärkern wird die Verstärkung der Leistung in Dezibel (dB) angegeben. Die Verstärkung v ist v = 20·lg(V) dB, wobei V der reale Verstärkungsfaktor der angelegten Spannung ist. Wenn zum Beispiel die Eingangsspannung verzehnfacht wird, ist der reale Verstärkungsfaktor V = 10. Die Verstärkung ist dann v = 20·lg(10) = 20dB. Worin liegt nun der Vorteil der Angabe in dB? Den erkennt man, wenn man mehrere Verstärker in Serie schaltet: V 1 = 0,8, V 2 = 3,2 bewirkt, dass der gesamte Verstärkungsfaktor V ges = V 1 ·V 2 = 0,8·3,2 = 2,56 ist. Hätte man stattdessen die Verstärkung in dB angegeben, so hätte man statt zu multiplizieren nur addieren müssen: v 1 ≈ ‒1,9dB, v 2 ≈ 10,1 dB, v ges = v 1 + v 2 = ‒1,9 + 10,1 ≈ 8,2dB a. Rechne nach, dass v ges tatsächlich 20·lg(V ges ) ist. b. Zeige, dass 20·lg(V 1 ·V 2 ) = v 1 + v 2 ist. c. Es werden drei Verstärker mit den Verstärkungsfaktoren V 1 = 4, V 2 = 1,8 und V 3 = 7,2 in Serie geschaltet. Berechne die einzelnen Verstärkungen v 1 , v 2 und v 3 sowie die Gesamtverstärkung in dB. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du 20·lg(V 1 ·V 2 ·V 3 ) berechnest. 412 Der dekadische Logarithmus eines Verhältnisses von zwei Leistungen lg 2 P e _ P 1 3 ist eine Zahl, die in der Technik aber in Bel angegeben wird. Das wieviel-Fache von P 1 muss P e sein, damit lg 2 P e _ P 1 3 = 1Bel ist? Berechne. 413 Die Einheit Bel wird meistens nur mit der Vorsilbe „Dezi“ gebraucht und dann mit dB abgekürzt. Wie wir bereits wissen, steht diese Vorsilbe für den zehnten Teil, also ist 1 dB = 1 _ 10 Bel. Das erklärt in der in Aufgabe 409 bei a = 10lg 2 P E _ p A 3 den Faktor 10. In den Aufgaben 410 und 411 hingegen tritt hier anstelle von 10 ein Faktor 20 auf. Woran liegt das? Bel gibt den dekadischen Logarithmus eines Verhältnisses von zwei Leistungen an. Bei der Berechnung der Verstärkung in Aufgabe 411 sind wir hingegen vom Verhältnis zweier Spannungen ausgegangen. Aus der Physik ist bekannt, dass die elektrische Leistung P proportional zum Quadrat der Spannung U ist, genauer P = U 2 _ R . Zeige, dass 10·lg 2 P A _ P E 3 = 20·lg 2 U A _ U E 3 ist. B A, B B, D V 1 = 0,8 V 2 = 3,2 B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv