Mathematik HTL 3, Schulbuch

129 Zusammenfassung Für eine Funktion f und ein Intervall [a; z], das im Definitionsbereich von f enthalten ist, nennen wir die Zahl ​  f(z) – f(a) __  z – a  ​ den Differenzenquotienten von f oder die mittlere Änderungsrate von f in [a; z]. Der Differenzenquotient ist die Steigung der Geraden durch die Punkte (a 1 f(a)) und (z 1 f(z)) des Graphen von f. Eine Funktion f: M ¥ R heißt in a * M differenzierbar , wenn der Grenzwert der Differenzen­ quotienten ​ lim  z ¥ a ​ ​  f(z) – f(a) __ z – a  ​ von f in [a; z] (wenn a < z ist) bzw. [z; a] (wenn a > z ist) für z gegen a existiert. Wenn dieser Grenzwert existiert, nennen wir ihn die Ableitung von f in a oder die momentane Änderungsrate von f in a oder den Differentialquotienten von f in a und bezeichnen ihn mit f’(a) (sprich: „f Strich von a”). Die Funktion, die jedem Element a des Definitionsbereiches von f die Ableitung f’(a) von f in a zuordnet, heißt Ableitung von f und wird mit f’ bezeichnet. Ist eine Funktion n-mal differenzierbar , dann schreiben wir f  (n) für die n-te Ableitung von f. Statt f  (2) schreiben wir häufig f’’. Die lineare Funktion h mit h(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) nennen wir die lineare Näherung von f an der Stelle a und die quadratische Funktion q mit q(x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + ​  1 _ 2 ​f’’(a)·(x – a) 2 die quadratische Näherung von f an der Stelle a. In einer kleinen Umgebung von a sind die Funktionswerte der Funktion f, ihrer linearen Näherung und ihrer quadratischen Näherung „fast gleich”. Die Gerade durch (a 1 f(a)) mit Steigung f’(a) heißt Tangente an den Graphen von f im Punkt (a 1 f(a)) oder Tangente von f an der Stelle a. Diese Tangente ist der Graph der linearen Näherung von f an der Stelle a. In einer kleinen Umgebung des Punktes (a 1 f(a)) sind die Tangente von f und der Graph von f „fast gleich”. Sind f und g differenzierbare Funktionen, dann sind auch f + g und f·g differenzierbar: (f + g)’ = f’ + g’  und  (f·g)’ = f’·g + f·g’ Ist c eine reelle Zahl und g eine differenzierbare Funktion, dann ist auch c·f differenzierbar: (c·g)’ = c·g’ Wenn zwei Funktionen f und g von M nach R differenzierbar sind und g in M keine Nullstellen hat, dann ist auch ​  f _ g ​differenzierbar: ​ 2  ​  f _ g ​  3 ​’ = ​  f’g – fg’ _ ​g​ 2 ​ ​ Differenzen- quotient differenzierbare Funktion Ableitung Differential- quotient Ableitung n-te Ableitung lineare und quadratische Näherung Tangente Summenregel Produktregel Faktorregel Quotienten- regel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv