Mathematik HTL 3, Schulbuch

130 Zusammenfassung: Differentialrechnung Wenn f und g differenzierbar sind, dann ist auch die Zusammensetzung dieser Funktionen, also die Funktion f ° g, die jedem Element t des Definitionsbereiches von g die Zahl (f ° g)(t) = f(g(t)) zuordnet, differenzierbar: (f ° g)’ = (f’ ° g)·g’ Wenn f differenzierbar ist, f’ keine Nullstellen hat und es eine Umkehrfunktion g von f gibt, dann ist g differenzierbar: g’ =   1 _  f’ ° g Polynomfunktionen, rationale Funktionen, Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten sind differenzierbar. Ist f die Polynomfunktion f(x) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0 , dann ist die Ableitung von f die Polynomfunktion f’ mit f’(x) = n·c n x n – 1 + (n – 1)c n – 1 x n – 2 + … + 2·c 2 x + c 1 . Für alle x * R ist: sin’(x) = cos(x) tan’(x) =   1 _  cos 2 (x) ln’(x) =   1 _ x cos’(x) = ‒ sin(x) cot’(x) =   ‒1 _  sin 2 (x) logb’(x) =   1 _  ln(b)·x Für f mit f(x) = a x ist f’(x) = ln(a)·a x . Für f mit f(x) = x   1 _  n ist f’(x) =   1 _  n x   1 _ n – 1 . Eine differenzierbare Funktion f ist auf einem offenen Intervall in ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend , wenn für alle Elemente a dieses Intervalls f’(a) > 0 bzw. f’(a) < 0 ist. Eine Funktion f von einer Teilmenge von R nach R hat in einem Element a ihres Definitions bereichs ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum , wenn alle Funktionswerte von Zahlen in einer kleinen (in ihrem Definitionsbereich enthaltenen) Umgebung von a kleiner oder gleich f(a) bzw. größer oder gleich f(a) sind. Die Zahl a heißt dann lokale Maximumstelle bzw. lokale Mini- mumstelle von f. Wenn a eine lokale Minimumstelle oder Maximumstelle einer differenzierbaren Funktion f ist, dann muss f’(a) = 0 sein. Wenn f zweimal differenzierbar und f’’(a) < 0 ist, dann ist a eine Maximumstelle. Wenn f’’(a) > 0 ist, dann ist a eine Minimumstelle. Eine zweimal differenzierbare Funktion ist über einem Intervall genau dann konvex bzw. konkav , wenn für alle Zahlen a in diesem Intervall f’’(a) º 0 bzw. f’’(a) ª 0 ist. Wenn eine Funktion über dem Intervall [b; a] konvex und über dem Intervall [a; c] konkav ist (für b < a < c), oder über dem Intervall [b; a] konkav und über dem Intervall [a; c] konvex ist, dann heißt a eine Wendestelle dieser Funktion und ihre Tangente an der Stelle a eine Wendetangente . Wenn a eine Wendestelle von f ist, dann muss f’’(a) = 0 sein. Kettenregel Ableitung der Umkehr funktion Ableitung wichtiger Funktionen streng monoton wachsende oder fallende differenzierbare Funktionen Maximumstelle, Minimumstelle zweite Ableitung und lokale Extremstellen zweite Ableitung einer konvexen Funktion Wendestelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv