Mathematik HTL 3, Schulbuch

131 Zusammenfassung: Differentialrechnung Englisch ve4jy5 Individualisierung h642ai Zusammenfassende Aufgaben 563 Gib für die Funktion von R ¥ R an, auf welchen Intervallen sie streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist, und fertige eine Skizze an. a. f mit f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 3 + 2x 2 + ​  29 _ 2  ​x + 12 c. f mit f(t) = t 3 ·e ‒t y b. f mit f(x) = ‒ x 3 + ​  3 _ 2 ​x 2 + 9x + 4 d. f mit f(t) = te ‒t + 2 564 Eine Polynomfunktion mit Grad 3 und Leitkoeffizient 0,2 und hat 0 als Nullstelle. Der Graph die­ ser Funktion enthält den Punkt (5 1 ‒20) und die Steigung der Tangente an die Polynomfunktion in diesem Punkt ist ‒ 4. Berechne alle Koeffizienten dieser Polynomfunktion. 565 Ein Körper legt im freien Fall (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) in t Sekunden s(t) = ​  1 _ 2 ​·g·t 2  m zurück. Dabei ist g die Erdbeschleunigung und beträgt ca. 9,81m/s 2 . Die Momentangeschwindigkeit des Körpers zur Zeit t ist s’(t) m/s. Ein Körper fällt nun von einer 20m hohen Plattform herunter. a. Ermittle, wie lange er fällt. b. Mit welcher Geschwindigkeit in m/s trifft er auf den Boden? Berechne. 566 Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Funktion f: R ¥ R , t ¦ 4·​e​ – ​  1 _ 2  ​t ​·sin(2t) beschrieben. a. Zeichne mithilfe eines CAS den Graphen der Funktion f. b. Bestimme alle Minimumsstellen und Maximumsstellen der Funktion f im Intervall [0; 2 π ] mithilfe des CAS. 567 Ermittle die zweite Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle ​  π _ 2 ​und finde die quadratische Funk­ tion, die die Sinusfunktion in einer Umgebung von ​  π _ 2 ​gut annähert. 568 Bestimme die lineare Näherung der Funktion f mit f(x) = 2x 2 + 2x – 4 an der Stelle 1. Berechne dann damit näherungsweise den Funktionswert an der Stelle 1,02. Vergleiche den so ermittelten Näherungswert mit dem tatsächlichen Funktionswert und gib den absoluten Fehler an. 569 Gib an, in welchen Intervallen im dargestellten Bereich die Funktion differenzierbar ist. a. b. c. 570 Dido von Karthago schneidet aus einer Kuhhaut insgesamt 800m Lederstreifen und will mithilfe dieser Schnur eine möglichst große rechteckige Fläche als ihr Eigentum beanspruchen. Gib an, welche Länge und welche Breite sie wählen soll. B, C A, B A, B B A, B B, C C x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 2 -1 1 2 4 3 x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 - 4 x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 2 -1 1 2 4 3 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv