Mathematik HTL 3, Schulbuch

132 Zusammenfassung: Differentialrechnung 571 Zeichne den Graphen einer Funktion mit den gegebenen Eigenschaften über dem Intervall [‒ 4; 4]. a. differenzierbar auf ganz R , monoton fallend auf [‒4; 4] b. differenzierbar auf ganz R außer an der Stelle 0 c. differenzierbar auf ganz R außer an der Stelle ‒3 und monoton fallend auf ganz R d. differenzierbar auf ganz R außer an der Stelle 1 und konvex auf [‒4; 4] 572 Zeichne den Graphen der Funktion f: R \{0} ¥ R , x ¦ ​  sin(x) _ x  ​und gibt für das Intervall [‒ π ; π ] an, wo die Funktion differenzierbar ist. Bestimme dann, wenn möglich, die Gleichungen der Tangenten an den Stellen ‒ ​  π _ 2 ​ , ​  π _ 2 ​ , ‒ π und π . 573 Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = † x + 2 † an allen Stellen außer ‒2 differenzierbar ist. 574 Zeichne den Graphen der Funktion f: R \{0} ¥ R , x ¦ cos​ 2 ​  1 _ x ​  3 ​mithilfe eines CAS oder einer DGS über dem Intervall [‒ π ; π ] und gib an, wo die Funktion differenzierbar ist. Berechne dann, wenn möglich, die Gleichungen der Tangenten an den Stellen ‒ ​  π _ 2 ​ , ​  π _ 2 ​ , ‒ π und π . 575 Zeichne den Graphen der Funktion (CauchyVerteilung) f: R ¥ R , x ¦ ​  1 _ π ​·​  2 __  4 + (x + 1) 2 ​mithilfe eines CAS und bestimme dann das lokale Maximum der Funktion. 576 Der Graph einer Polynomfunktion schneidet die yAchse im Punkt (0 1 ‒7). Der Koeffizient bei x 3 ist 1. Der Graph dieser Funktion enthält den Punkt P = (4 1 ‒19) und die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P ist 9. Berechne alle Koeffizienten dieser Polynomfunktion. 577 Berechne die erste und die zweite Ableitung der Cosinusfunktion an der Stelle 0. Bestimme dann die lineare und die quadratische Näherung an der Stelle 0. Erstelle eine Tabelle mit mindestens fünf Zeilen für die Funktionswerte der drei Funktionen in [‒0,1; 0,1] und vergleiche deren Genauigkeit. 578 Ermittle je eine Parameterform und je eine Gleichung der Tangenten der Sinusfunktion an den Stellen ‒10, ‒1, 0,1 und 10. Zeichne dann den Graphen der Sinusfunktion in einer kleinen Umgebung dieser Zahlen. 579 Auf dem Graphen einer Polynomfunktion mit Grad 3 liegen die Punkte (‒1 1 ‒ 5), (1 1 0), (3 1 45) und (5 1 154). Bestimme die Koeffizienten der Polynomfunktion. 580 Ein leider noch immer weit verbreiteter Irrtum ist, dass man sich bei einer im Ortsgebiet üblichen Geschwindigkeit (maximal 50 km/h) bei einem Frontalaufprall mit den Händen abstützen kann. Mit diesem Argument legen viele Leute den Sicherheitsgurt nicht an. Berechne, welcher Absturzhöhe bei freiem Fall ein Aufprall mit 50km/h am Boden entspricht. Überlege, ob ein Abfangen eines Sturzes aus einer solchen Höhe überhaupt möglich wäre. Hinweis: Für den freien Fall gilt s(t) = ​  1 _ 2 ​·g·t 2 (g ≈ 9,81 m/s 2 ). 581 In Aufgabe 580 wurde die Absturzhöhe für eine bestimmte Aufprallgeschwindigkeit berechnet. Verallgemeinere diese Überlegung und benütze ein geeignetes Programm, um für jede beliebige Geschwindigkeit die entsprechende Absturzhöhe zu berechnen. A B, C D B B A, B B, C B A, B B, D A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv