Mathematik HTL 3, Schulbuch

133 Zusammenfassung: Differentialrechnung 582 Der Scheitel einer quadratischen Funktion ist ​ 2  ​ ​  ​  1 _  2 ​  1  ​t  3 ​. Ihr Graph schneidet die xAchse im Punkt (2 1 0) und die Steigung seiner Tangente im Punkt (4 1 y) ist 7. Berechne die drei Koeffizienten dieser Funktion. 583 Ermittle für die Funktion f mit f(t) = ​e​  ​  t _ 2 ​ ​·cos(t) die erste und die zweite Ableitung und finde ihre lineare sowie ihre quadratische Näherung an der Stelle 0. Zeichne mithilfe eines CAS oder einer DGS die Graphen der drei Funktionen. Vergleiche deren Funktionswerte im Intervall [‒0,5; 0,5] mithilfe einer Wertetabelle. 584 Ein Fußballer trifft den Ball beim Freistoß 22m vor dem Tor in einer Höhe von 13 cm. Die gegnerische Mauer überfliegt der Ball in einer Höhe von 2,80m und ist 9,20m vom Fußballer entfernt. Der Torwart fängt den Ball 1m vor dem Tor in einer Höhe von 2,50m. a. Fertige eine Skizze an und finde eine Funktion, deren Graph den Flug des Balles näherungs­ weise beschreibt. Begründe die Wahl. b. Hätte der Ball das Tor getroffen, wenn der Torwart ihn nicht gefangen hätte? Hinweis: Ein Fußballtor ist 2,44m hoch. c. Ermittle, unter welchem Winkel der Fußballer den Ball abgeschossen hat und unter welchem Winkel der Torwart den Ball fängt. d. Berechne wie hoch der Ball maximal war. Verwende dazu die Differentialrechnung. e. Begründe, warum die Funktion im betrachteten Bereich zwischen Fußballer und Torwart höchstens ein Maximum haben kann. 585 Von einer Funktion f ist bekannt, dass der Punkt (1 1 ‒1) auf ihrem Graphen liegt und dass f’(1) = ‒1 und f”(1) = 2 ist. Finde mindestens zwei Funktionen, die diese Bedingungen erfüllen. 586 Die Fahrt eines LKW wird durch die Funktion f: R ¥ R , t ¦ 1,8t 2 , die jedem Zeitpunkt t den zurückgelegten Weg zuordnet, beschrieben (f(t) in Meter und t in Sekunden). a. Zeichne den Graphen der Funktion über dem Intervall [0 s; 4 s]. b. Bestimme die Ableitung der Funktion an der Stelle a = 2 s. c. Verwende die Ableitung, um die Momentangeschwindigkeit in km/h zum Zeitpunkt 2 s zu bestimmen. 587 Untersuche, ob die rationale Funktion r mit r(x) = ​  1 _  x 2 + 1 ​Wendestellen hat und gib diese gegebenenfalls an. 588 Die Punkte (1 1 1) und (‒ 2 1 ‒ 5) liegen auf dem Graphen einer quadratischen Funktion. Die Steigung der Tangente dieser quadratischen Funktion an der Stelle ‒2 ist 5. Berechne alle Koeffizienten dieser quadratischen Funktion. 589 Mäxchen Schlau behauptet: Auf dem Planeten Erde kann ein Mensch mit ein wenig sportlichem Geschick einen Sprung aus 2m Höhe ohne Verletzung überstehen. Am Mond jedoch, kann er aus einer 6mal so großen Höhe gefahrlos springen, weil die Mondbeschleunigung nur ein Sechstel der Erdbeschleunigung beträgt. Überprüfe diese Aussage. Hinweis: Für eine Verletzung ist nur die Aufsprunggeschwindigkeit relevant. Für den freien Fall gilt auf der Erde s(t) = ​  1 _ 2 ​·g·t 2 (g ≈ 9,81m/s 2 ). 590 Berechne alle quadratischen Funktionen, die 0,5 als Nullstelle haben und deren Tangente an der Stelle 2 die Steigung 4 hat. A, B B, C A, B, D A B B A, B  ggb 665z75 B, D A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv