Mathematik HTL 3, Schulbuch

188 Integralrechnung Wir wissen bereits, dass dieses Volumen gleich π ·  :  g(a)   g(b)   (g ‒1 (t)) 2 dt(wenn g streng monoton wachsend ist) oder π ·  :  g(b)   g(a)   (g ‒1 (t)) 2 dt(wenn g streng monoton fallend ist) ist. Nach der Substitutionsregel (wir „ersetzen t durch g(t) und dt durch g’(t) dt”) ist π ·  :  g(a)   g(b)   (g ‒1 (t)) 2 dt= π · :  a   b (g ‒1 (g(t))) 2 g’(t) dt= π · :  a   b t 2 g’(t) dt. Fassen wir zusammen: Das Volumen des Rotationskörpers , der durch die Rotation um die yAchse der Menge zwischen der xAchse und dem Graphen einer stetigen Funktion g: [a; b] ¥ R , deren Funktionswerte nicht negativ sind, entsteht, ist 2 π · :  a   b t·g(t) dt . Wir nehmen zusätzlich an, dass die Funktion g streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Das Volumen des Rotationskörpers, der durch den um die yAchse rotierenden Graphen von g und die auf die yAchse senkrecht stehenden Ebenen durch (0 1 g(a) 1 0) und durch (0 1 g(b) 1 0) begrenzt wird, ist π ·  :  g(a)   g(b)   (g ‒1 (t)) 2 dt= π · :  a   b t 2 ·g’(t) dt(wenn g streng monoton wachsend ist) oder π ·  :  g(b)   g(a)   (g ‒1 (t)) 2 dt= π · :  b   a t 2 ·g’(t) dt(wenn g streng monoton fallend ist). Tipp Wir berechnen dieses Volumen mit jenem der zwei Integrale, das leichter zu berechnen ist. Für das zweite Integral brauchen wir die Umkehrfunktion nicht zu berechnen. 865 a. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Menge zwischen der x-Achse und dem Graphen von g: [0; 1] ¥ R , t ¦ t 3 + 1 um die y-Achse rotiert. b. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Graphen von g um die yAchse entsteht. a. Das Volumen ist 2 π · :  0   1 t·g(t) dt= 2 π · :  0   1 (t 4 + t) dt= 2 π ·  7 _  10 =   7 _ 5 π . b. Das Volumen ist π · :  0   1 t 2 ·g’(t) dt= π · :  0   1 3t 4 dt=   3 π _ 5  . 866 a. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Menge zwischen dem Intervall [1; 2] und dem Graphen von g: [1; 2] ¥ R , t ¦ 2t 2 + 3 um die yAchse rotiert. b. Ermittle das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Graphen von g um die yAchse entsteht. Volumen eines Rotations- körpers bei Rotation um die y-Achse B mcd 86zm2t das Volumen eines Rotations körpers berechnen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv