Mathematik HTL 3, Schulbuch

213 4.1 Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform 953 Lara und Jakob möchten ihren Schulerfolg verbessern und besuchen beide das Nachhilfeinstitut Berger. Lara bezahlt dort für 5 Mathematikund 3 Englischeinheiten insgesamt 244€, Jakob für 4 Mathematik- und 8 Englischeinheiten 352€. Hätten die beiden die Nachhilfe im gleichen Umfang aber im Institut Dobner in Anspruch genommen, so hätte Lara 240€ und Jakob 360€ bezahlt. Berechne die Preise pro Lerneinheit Mathematik bzw. Englisch in den beiden Nachhilfe instituten. Löse die Aufgabe möglichst geschickt mithilfe von Matrizen. 954 Wandle das lineare Gleichungssystem in Matrizenform um und löse es mithilfe eines geeigneten CAS. a. I) 4x – 4y + 1z = ‒19,34 d. I) 2a – 3b + c = ‒32,95 II) 3x + 7y – 2z = 3,12 II) 4a + 2b – c = 31,85 III) 5x + 2y – 3z = 9,01 III) 3,2a – 1,5b + 0,7 c = ‒13,225 b. I) 2x 1 + 3x 2 – 1x 3 + x 4 = 62,5 e. I) 2x 1 + 5x 2 – 1,2x 3 = 1,52 II) 4x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 = 31 II) 2,7x 1 + 1,9x 2 + 7,1x 4 = ‒ 3 III) x 1 – 5x 2 – 3x 4 = ‒18,5 III) 2x 1 – x 2 + 4x 3 – 1,1x 4 = 8,4 IV) 2x 1 + x 2 – 3,5x 3 + 5x 4 = 40,5 IV) 3x 1 – 1,7x 2 + 4,1x 3 – 1,5x 4 = 10 c. I) 2a + 3b – c + 0,5d – 7 e = 188,7 f. I) a + 6b – 3c + e = 39 II) 0,8a – 0,4b + 2c – 3d + e = ‒8,3 II) a + 4d = 6 III) a + b – 4e = 10,7 III) 3a + 2b – c = 17 IV) a – b + 8c = ‒11,8 IV) 2c – 5e = ‒ 8 V) 5a – 0,6b + 4c – 0,4c + 2e = ‒7,82 V) b – d = 2,5 Kettenmatrizen von Vierpolen* Ein Vierpol ist ein elektronisches Bauteil mit vier Anschlüssen. Wir fassen je zwei zu einem Eingang und einem Ausgang zusammen. Am Eingang fließt bei einem Anschluss ein Strom von I 1 Ampère, beim anderen ein Strom von ‒ I 1 Ampère. Am Ausgang fließt bei einem Anschluss ein Strom von I 2 Ampère, beim anderen ein Strom von ‒ I 2 Ampère. Die Eingangsspannung ist U 1 Volt, die Ausgangsspannung ist U 2 Volt. Enthält das Bauteil nur einen in Serie geschalteten Widerstand R, dann ist U 2 = U 1 – R·I 1 und I 2 = I 1 . Wir können das übersichtlich mit einer Matrix darstellen: 2  U 2 I 2   3 = 2    1    0 ‒R 1   3 · 2  U 1 I 1   3 . Enthält die Schaltung nur einen parallel geschalteten Widerstand R, dann ist U 2 = U 1 und I 2 = I 1 –   1 _ R ·U 1 , also 2   U 2 I 2    3 = 2   1 0    ‒   1 _ R 1 3 · 2   U 1 I 1    3 . Ein Vierpol heißt linear , wenn es eine 2×2Matrix K so gibt, dass 2   U 2   I 2    3 = K· 2   U 1   I 1    3 ist. Diese Matrix K heißt dann Kettenmatrix des Vierpols . * Cluster 2 A, B B ggb fk694d U 2 U 1 I 1 I 2 U 2 U 1 I 1 I 2 R U 2 U 1 I 1 I 2 R Kettenmatrix eines Vierpols Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv