Mathematik HTL 3, Schulbuch

216 4.2 Berechnung der inversen Matrix Ich lerne ein System linearer Gleichung in Matrizenform zu lösen. Ich lerne zu einer gegebenen invertierbaren n×n-Matrix die inverse Matrix zu berechnen. Lösung von Systemen linearer Gleichungen in Matrizenform Im ersten Jahrgang haben wir gelernt, ein System von linearen Gleichungen zu lösen. Zum Beispiel ist die Aufgabe „Finde alle Zahlentripel (a, b, c), für die gilt: I) a + c = 2 II) 2a + b – 2c = 3 III) a + 2b + 2c = 0” ein System linearer Gleichungen. Wenn wir wissen, dass es genau eine Lösung gibt, können wir es diagonalisieren, also in ein Gleichungssystem der Form I) 1·a + 0·b + 0·c = … II) 0·a + 1·b + 0·c = … III) 0·a + 0·b + 1·c = … überführen, aus dem wir das gesuchte Tripel (a, b, c) sofort ablesen können. Tipp Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind: Eine Gleichung mit einer von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren, eine Gleichung zu einer anderen addieren oder subtrahieren, zwei Gleichungen vertauschen. Wir zeigen am Beispiel dieses Systems von 3 linearen Gleichungen mit 3 Unbekannten, wie man dieses Verfahren auf Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform übertragen (und sich dabei viel Schreibarbeit ersparen) kann. 962 Finde alle Zahlentripel (a, b, c), für die gilt: I) a + c = 2 II) 2a + b – 2c = 3 III) a + 2b + 2c = 0 Die Matrizenform dieses Systems linearer Gleichungen ist 2    1  2 1   0  1 2   1 ‒ 2  2   3 · 2    a b c   3 = 2  2  3  0 3 . Wir können die Äquivalenzumformungen direkt an der Koeffizientenmatrix und der Spalte rechts ausführen. Anstatt das Zweifache der Gleichung I von der Gleichung II zu subtrahieren, subtrahieren wir die mit 2multiplizierte erste Zeile von deren zweiter Zeile. Wir schreiben dazu die Koeffizientenmatrix und die Spalte rechts nebeneinander als eine 3×4Matrix an. Diese Matrix heißt die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems. 2    1  2 1   0  1 2   1 ‒ 2  2 2  3  0 3 | II – 2·I B ein Gleichungs- system in Matrizenform lösen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv