Mathematik HTL 3, Schulbuch

217 4.2 Berechnung der inversen Matrix Wir subtrahieren nun die mit 2 multiplizierte erste Zeile von der zweiten. 2    1  0 1   0  1 2   1 ‒ 4  2   2 ‒1   0 3 | III – 1 Nun subtrahieren wir die erste Zeile von der dritten. 2    1  0 0   0  1 2   1 ‒ 4  1   2 ‒1   ‒ 2 3 | III – 2·II Wir subtrahieren die mit 2multiplizierte zweite Zeile von der dritten. 2    1  0 0 0  1  0   1 ‒ 4  9   2 ‒1    0 3   |   1 _ 9 ·III Wir multiplizieren die dritte Zeile mit   1 _ 9 . 2  1 0  0 0  1  0   1 ‒ 4  1   2 ‒1   0 3 | II + 4·III Wir addieren die mit 4multiplizierte dritte Zeile zur zweiten. 2    1  0 0 0  1  0   1  0 1   2 ‒1   0 3 | I – III Schließlich subtrahieren wir die dritte Zeile von der ersten. 2    1  0 0 0  1  0 0  0  1   2 ‒1    0 3 Die Koeffizientenmatrix ist nun die Einheitsmatrix, das Gleichungssystem ist diagonalisiert und die gesuchte Lösung ist die Spalte ganz rechts, also a = 2, b = ‒1 und c = 0. 963 Schreibe das System linearer Gleichungen in Matrizenform um und berechne die Lösung durch Äquivalenzumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix. a. I) x + 2y = 3 b. I) 3a + b = 4 c. I) u + 2v = 3 II) 4x + 5y = 6 II) 4a – 2b = ‒ 3 II) 2u – v = ‒ 4 964 Schreibe das Gleichungssystem in Matrizenform um und berechne die Lösung. a. I) 3x – 4y + z = 0 b. I) 2x 1 + 5x 2 – x 3 = 1 II) 3x – 2y + 2z = 3 II) x 1 + 3x 2 = ‒1 III) 6x + y – 3z = 5 III) 2x 1 – x 2 + x 3 = 5 965 Berechne eine Spalte x mit 3 Zeilen so, dass A·x = b ist. a. A = 2    1  6 2   9 0 ‒ 4 ‒ 4 1  3   3 ; b = 2  2  3  0 3 b. A = 2  2  4  2   3 1 ‒ 4   1  1  0 3 ; b = 2  2  0  1 3 c. 2  3  6  1 ‒1  2  1 ‒1 1  3   3 ; b = 2  ‒1 3  2   3 966 Ermittle die Lösung des Systems linearer Gleichungen. a. 2    2 ‒1   0   1  0  2 5  3  3 3 ·x = 2    9 2 7   3 c. 2  ‒1 2  2   0  5 1   3 ‒7   0 3 ·x = 2    13 ‒ 21   6   3 e. 2  ‒ 3 2  0   7 ‒1   5   4  0 2 3 ·x = 2  ‒ 2 4  2   3 b. 2    1  2 5   4  3 0 ‒ 2 1  2   3 ·x = 2    10 15  6   3 d. 2    1 2 ‒1   0  4  5 2  3  2 3 ·x = 2    7 ‒ 2  ‒ 6   3 f. 2    4 2 ‒1 3  5  2   1 3 ‒1 3 ·x = 2  ‒15 ‒ 9   8   3 B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv