Mathematik HTL 3, Schulbuch

220 Matrizen 972 Berechne die inverse Matrix mithilfe eines CAS. a. 2     5 10   6   6 2  8  5  5   7  3  9  6 5  1  2  3 3 b. 2  2  0  7  9   1  9  5  5 2  1  1  7 3  9  0  4 3 c. 2  5  2  3  2   9  8  3  3   4  1  5  5   7  9  8  8 3 973 Berechne mithilfe eines geeigneten CAS die inverse Matrix. a. A = 2     3  1    3  ‒ 4    3 ‒ 5   6   0 ‒ 8  7   7   1   4  0  2  3 3 b. B = 2    7  6 2   9 2 ‒ 4 ‒ 4 1  3   3 c. C = 2      9    8 ‒1     3 ‒ 5   2    1  4  ‒ 3 4   3    5 ‒1     7 2 ‒ 4 3 0  0 1     2 ‒1 1    4 ‒7 3 Berechnung von Strömen in einer Schaltung* 974 Ermittle mithilfe der Kirchhoffschen Gesetze die Ströme, wenn U = 24V, R 1 = 2,8 kΩ, R 2 = 4,5 kΩ, R 3 = R 4 = 2,3 kΩ. Nach der ersten Kirchhoffschen Regel (Knotenregel) ist die Summe der ankommenden Ströme und der wegfließenden Ströme in jedem Knotenpunkt gleich 0, daher ist I 1 – I 2 – I 3 = 0. Nach der zweiten Kirchhoffschen Regel (Maschenregel) ist in jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) die Summe aller Spannungsquellen gleich der Summe aller Spannungsabfälle, daher gilt für die linke Masche U = R 1 I 1 + R 2 I 2 und für die rechte Masche R 2 I 2 = I 3 (R 3 + R 4 ). Wir erhalten so das lineare Gleichungssystem I) I 1 – I 2 – I 3 = 0 II) R 1 I 1 + R 2 I 2 = U III) R 2 I 2 – I 3 (R 3 + R 4 ) = 0 mit den Unbekannten I 1 , I 2 und I 3 . Die Matrizenform dieses Gleichungssystems ist A·x = b mit A = 2    1 2800   0   ‒1 4500   4500   ‒1 0    ‒ 4600   3 und b = 2    0 24  0   3 . Wir können nun die Lösung direkt durch Umformen der erweiterten Koeffizientenmatrix berechnen. Falls wir die Ströme derselben Schaltung für verschiedene Spannungen U berechnen wollen, lohnt es sich, die Matrix A zu invertieren: A ‒1 = 2    0,448 ‒ 0,279   ‒ 0,273   1,971·10 ‒4 9,961·10 ‒5 9,744·10 ‒5 ‒ 9,744·10 ‒5 6,063·10 ‒5 ‒1,581·10 ‒4 3 Dann ist die Lösung des Gleichungssystems (für U = 24V) A ‒1 ·b = 2    0,448 ‒ 0,279   ‒ 0,273   1,971·10 ‒4 9,961·10 ‒5 9,744·10 ‒5 ‒ 9,744·10 ‒5 6,063·10 ‒5 ‒1,581·10 ‒4 3 · 2    0 24  0 3 = 2    4,729·10 ‒3 2,391·10 ‒3 2,339·10 ‒3   3 , daher gilt I 1 = 4,729mA, I 2 = 2,391mA und I 3 = 2,339mA. * Cluster 2 B B A, B Ströme in einer Schaltung berechnen I 2 R 1 R 2 R 4 I 1 R 3 I 3 U Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv