Mathematik HTL 3, Schulbuch

227 Zusammenfassung Ein System linearer Gleichungen mit m Gleichungen und n Unbekannten (in Matrizenform) ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind eine m×nMatrix A und eine Spalte b mit m Zeilen. Gesucht ist eine Beschreibung der Menge aller Spalten x (mit n Zeilen) mit der Eigenschaft A·x = b. Wenn es nur eine solche Spalte gibt, dann wird diese Spalte gesucht. Wir schreiben für diese Aufgabe kurz: „Das System linearer Gleichungen A·x = b.” Die Matrix A heißt Koeffizientenmatrix dieses Systems linearer Gleichungen. Die erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Systems erhält man, indem man die Spalte b als (n + 1)-te Spalte an die Matrix A anfügt. Wenn die Koeffizientenmatrix A des Systems linearer Gleichungen A·x = b invertierbar ist, dann gibt es genau eine Lösung, nämlich die Spalte A ‒1 ·b. Diese Lösung kann durch Äquivalenzumformungen der erweiterten Koeffizientenmatrix berechnet werden. Dazu können Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix mit einer von 0 verschiedenen Zahl multipliziert werden, eine Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix zu einer anderen addiert oder subtrahiert werden, zwei Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix vertauscht werden. Ist α eine Zahl aus dem Intervall [0; 2 π ), dann heißt die reelle 2×2Matrix 2    cos( α ) ‒ sin( α ) sin( α ) cos( α )   3 Drehmatrix zum Drehwinkel α . Stellen wir einen Punkt der Ebene (nach Wahl eines recht winkeligen Koordinatensystems) durch eine Spalte 2   x  y   3 dar, dann ist 2   cos( α ) ‒ sin( α ) sin( α ) cos( α )    3 · 2   x  y   3 = 2   cos( α )·x – sin( α )·y sin( α )·x + cos( α )·y 3 der Punkt, den man erhält, wenn man 2   x  y   3 gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α um den Nullpunkt dreht. Ist 2   a  b 3 ein Punkt der Ebene, α eine Zahl aus dem Intervall [0; 2 π ) und 2   x  y   3 ein Punkt der Ebene, dann ist 2   cos( α ) ‒ sin( α ) sin( α ) cos( α )    3 · 2   x – a  y – b   3 + 2   a  b   3 = 2   cos( α )·(x – a) – sin( α )·(y – b) + a sin( α) ·(x – a) + cos( α )·(y – b) + b   3 der Punkt, den man erhält, wenn man 2   x  y   3 um den Punkt 2   a  b 3 um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn dreht. Ist 2    x y   3 ein Punkt der Ebene, α eine reelle Zahl und g die Gerade durch den Nullpunkt und den Punkt 2   cos( α )  sin( α )   3 , dann ist 2   cos(2 α ) sin(2 α )  sin(2 α )  ‒ cos(2 α )   3 · 2    x y   3 = 2   cos(2 α )·x + sin(2 α )·y sin(2 α )·x ‒ cos(2 α )·y 3 der Punkt, den man erhält, wenn man 2    x y   3 an der Geraden spiegelt. Die Matrix 2   cos(2 α ) sin(2 α )  sin(2 α )  ‒ cos(2 α )   3 heißt Matrix der Spiegelung an dieser Geraden. System linearer Gleichungen (in Matrizen- form) Gleichungs- systeme mit genau einer Lösung Drehmatrix Drehung um einen Punkt Spiegelung an einer Geraden durch den Nullpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv