Mathematik HTL 3, Schulbuch

232 5.1 Rechenregeln Ich lerne Gemeinsamkeiten in den Rechenregeln für Zahlen, Matrizen und Funktionen zu erkennen. Ich lerne die Begriffe Gruppe, Ring und Körper kennen und ich lerne nachzuprüfen, ob sie auf gegebene Rechenoperationen zutreffen. Während der vergangenen zwei Jahre haben wir nicht nur mit ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen gerechnet, sondern auch mit Matrizen und Funktionen. Wir haben in all diesen Fällen vereinbart, was wir jeweils unter der Addition und der Multiplikation verstehen. Zum Beispiel haben wir das Produkt von zwei Funktionen f und g von R nach R als jene Funktion von R nach R festgelegt, die jeder reellen Zahl a das Produkt f(a)·g(a) der Funktionswerte von f und von g an der Stelle a zuordnet. Wir haben das Produkt von zwei n×nMatrizen A und B als die Matrix definiert, deren Eintrag in der iten Zeile und jten Spalte die Zahl ;  k = 1   n A ik ·B kj ist. Wir haben uns dann immer überlegt, welche Rechenregeln dafür gelten. Für das Rechnen mit reellen Zahlen haben wir die folgenden Rechenregeln kennengelernt: Assoziativgesetz („man kann Klammern weglassen“): Für beliebige drei reelle Zahlen a, b und c ist (a + b) + c = a + (b + c). Es gibt ein neutrales Element , nämlich 0, mit der Eigenschaft: Für alle reellen Zahlen a ist a + 0 = a = 0 + a. Existenz von inversen Elementen („man kann subtrahieren“): Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine reelle Zahl, nämlich ‒a, mit der Eigenschaft a + (‒ a) = 0 = (‒a) + a. Kommutativgesetz („man kann die Reihenfolge der Summanden vertauschen“): Für beliebige zwei reelle Zahlen a und b ist a + b = b + a. Assoziativgesetz („man kann Klammern weglassen“): Für beliebige drei reelle Zahlen a, b und c ist (a·b)·c = a·(b·c). Es gibt ein „ neutrales Element “, nämlich 1, mit der Eigenschaft: Für alle reellen Zahlen a ist a·1 = a = 1·a. Existenz von inversen Elementen („man kann dividieren“): Zu jeder von 0 verschiedenen reellen Zahl a gibt es eine reelle Zahl, nämlich a ‒1 , mit der Eigenschaft a·a ‒1 = 1 = a ‒1 ·a. Kommutativgesetz („man kann die Reihenfolge der Faktoren vertauschen“): Für beliebige zwei reelle Zahlen a und b ist a·b = b·a. Für das Zusammenwirken von Addition und Multiplikation: Distributivgesetz („man kann ausmultiplizieren und herausheben“): Für beliebige drei reelle Zahlen a, b und c ist (a + b)·c = a·c + b·c und c·(a + b) = c·a + c·b Rechenregeln für die Addition reeller Zahlen Rechenregeln für die Multiplikation reeller Zahlen Distributiv gesetz für reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv