Mathematik HTL 3, Schulbuch

233 5.1 Rechenregeln Ersetzen wir in dieser Liste von Rechenregeln überall das Wort „reell“ durch „rational“ oder „komplex“, dann gelten sie ebenso. Bei den Rechenregeln für die Addition und beim Distributivgesetz können wir statt „reelle Zahl“ auch „ganze Zahl“ oder „n×nMatrix“ oder „reellwertige Funktion“ schreiben. Bei der Multiplikation gilt in diesen Fällen zwar auch das Assoziativgesetz und es gibt ein neutrales Element: 1 bei den ganzen Zahlen, die Einheitsmatrix bei Matrizen und die Funktion, die jeder Zahl die Zahl 1 zuordnet, bei den reellwertigen Funktionen. Es gibt aber viele von 0 verschiedene Elemente, die kein inverses Element besitzen: alle ganzen Zahlen mit Ausnahme von 1 und ‒1, alle Matrizen, deren Determinante gleich 0 ist und alle reellwertigen Funktionen, die Nullstellen haben. Die Multiplikation ist auch bei ganzen Zahlen und bei reellwertigen Funktionen kommutativ, bei Matrizen aber nicht. Um nicht immer alle Rechenregeln aufzählen zu müssen, hat man in der Algebra Kurzbezeich nungen eingeführt, die wir im Folgenden kennenlernen. Zuerst führen einen „Oberbegriff “ für die Addition und die Multiplikation ein: Eine Rechenoperation auf einer Menge M ist eine Funktion M×M ¥ M, die jedem Paar von Elementen aus M genau ein Element von M zuordnet. Wir schreiben für das Bild von (a, b) manchmal a * b . Beispiele für Rechenoperationen: Die Addition von ganzen Zahlen ist die Funktion Z × Z ¥ Z , (a, b) ¦ a + b. Die Multiplikation von reellen Zahlen ist die Funktion R × R ¥ R , (a, b) ¦ a·b. Eine andere Rechenoperation auf R ist die Funktion R × R ¥ R , (a, b) ¦ ‡ a – b ‡ , die jedem Paar von Zahlen auf der Zahlengeraden den Abstand dieser zwei Punkte zuordnet. Wir schreiben F für die Menge aller Funktionen von R nach R . Die Multiplikation von Funktionen ist die Funktion F × F ¥ F, (f, g) ¦ f·g. 1024 Schreibe die Rechenoperation als Funktion an. a. die Subtraktion von ganzen Zahlen b. die Multiplikation von reellen Zahlen c. die Verkettung von zwei Funktionen von R nach R Gruppen Eine Menge M zusammen mit einer Rechenoperation ist eine Gruppe , wenn für diese Rechenoperation folgende Rechenregeln gelten: Assoziativgesetz: Für beliebige drei Elemente a, b und c von M ist (a * b) * c = a * (b * c). Es gibt in M ein Element e mit der Eigenschaft: Für alle Elemente a von M ist a ist a * e = e * a = a. Dieses Element heißt neutrales Element von M bezüglich der Rechenoperation * . Existenz von inversen Elementen: Zu jedem Element a in M gibt es ein Element i(a) mit der Eigenschaft a * i(a) = i(a) * a = e. Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt, heißt M zusammen mit * eine kommutative Gruppe : Kommutativgesetz : Für beliebige Elemente a und b von M ist a * b = b * a. Tipp Man kann sich das kurz so merken: Eine Menge mit einer Rechenoperation * ist eine kommutative Gruppe, wenn für * dieselben Rechenregeln gelten wir für die Addition von ganzen Zahlen. Rechen operation A Gruppe kommutative Gruppe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv