Mathematik HTL 3, Schulbuch

234 Algebraische Strukturen Beispiele für kommutative Gruppen: Die Menge aller ganzen oder rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen mit der Addition. Die Menge aller reellwertigen Funktionen mit der Addition. Beispiel für eine Gruppe, die nicht kommutativ ist: Die Menge aller invertierbaren n×nMatrizen mit der Matrizenmultiplikation. Beachte dazu: Wenn zwei Matrizen invertierbar sind, dann ist auch ihr Produkt invertierbar. Die zu A·B inverse Matrix ist B ‒1 ·A ‒1 , weil gilt: (A·B)·(B ‒1 ·A ‒1 ) = A·(B·B ‒1 )·A ‒1 = A·E n ·A ‒1 = A·A ‒1 = E n 1025 Überprüfe, ob die Menge F aller Funktionen von R nach R mit der Zusammensetzung (Verkettung) von Funktionen eine Gruppe ist. Für alle Funktionen f, g, h und alle reellen Zahlen t gilt: ((f ° g) ° h)(t) = (f ° g)(h(t)) = f(g(h(t))) = f((g ° h)(t)) = (f ° (g ° h))(t). Daher sind die Funktionen (f ° g) ° h und f ° (g ° h) gleich, somit ist die Zusammensetzung von Funktionen assoziativ. Für die identische Funktion x und für jede Funktion f gilt f ° x = f (weil (f ° x)(t) = f(x(t)) = f(t) ist) und x ° f = f (weil (x ° f)(t) = x(f(t)) = f(t) ist). Also ist x das neutrale Element bezüglich der Zusammensetzung von Funktionen. Wenn eine Funktion f bezüglich der Zusammensetzung invertierbar ist, dann muss es eine Funktion g mit f ° g = x geben. Aber zum Beispiel hat die konstante Funktion 1 diese Eigenschaft nicht: Für jede Funktion ist 1 ° g = 1 ≠ x. Daher ist F mit der Zusammensetzung von Funktionen keine Gruppe. 1026 Überprüfe, ob die Menge mit der angegebenen Rechenoperation eine Gruppe ist. a. R mit der Multiplikation b. R \{0} mit der Multiplikation c. R mit R × R ¥ R , (a, b) ¦ ‡ a – b ‡ d. {0, 1} mit {0, 1} × {0, 1} ¥ {0, 1}, (a, b) ¦ a * b, dabei ist 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 1, 1 * 0 = 1, 1 * 1 = 0. 1027 Überprüfe, ob die Gruppe kommutativ ist. a. Die Menge aller n×nMatrizen mit der Addition. b. Die Menge der rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen mit Ausnahme der 0 mit der Multiplikation. 1028 Zeige: Wenn eine Menge M zusammen mit einer Rechenoperation * ein Gruppe ist, dann gibt es in M nur ein neutrales Element. Hinweis: Nimm an, dass es zwei neutrale Elemente e und e’ gibt und zeige mithilfe von deren Eigenschaften, dass e = e’ sein muss. Überlege dazu, was e * e’ ist. 1029 Wir bezeichnen mit M die Menge aller 2×2Matrizen 2    a    b ‒b a   3 mit a, b * R . Zeige: a. Das Produkt zweier solcher Matrizen 2    a    b ‒b a   3 · 2    c    d ‒d c   3 liegt ebenfalls in M. b. Diese Multiplikation ist kommutativ. c. Wenn (a, b) ≠ (0, 0) ist, dann ist 2    a    b ‒b a   3 invertierbar und die dazu inverse Matrix ist ebenfalls ein Element von M. D prüfen, ob eine Menge mit einer Rechen operation eine Gruppe ist D D D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv