Mathematik HTL 3, Schulbuch

235 5.1 Rechenregeln Ringe und Körper Eine Menge M zusammen mit zwei Rechenoperationen, wir nennen sie + und * , ist ein Ring , wenn für diese Rechenoperationen folgende Rechenregeln gelten: M zusammen mit + ist eine kommutative Gruppe. Assoziativgesetz für * : Für beliebige drei Elemente a, b und c von M ist (a * b) * c = a * (b * c). Es gibt in M ein Element e mit der Eigenschaft: Für alle Elemente a von M ist a * e = a = e * a. Dieses Element heißt neutrales Element von M bezüglich der Rechenoperation * . Distributivgesetz für + und * : Für beliebige drei Elemente von M ist (a + b) * c = a * c + b * c und c * (a + b) = c * a + c * b. Wir sagen dann, dass + die Addition und * die Multiplikation in diesem Ring ist. Das neutrale Element der Addition nennen wir das Nullelement und schreiben dafür 0. Das neutrale Element der Multiplikation nennen wir das Einselement oder einfach Eins und schreiben dafür 1. Das inverse Element von a bezüglich der Addition nennen wir minus a und schreiben dafür ‒a. Falls ein inverses Element von a bezüglich der Multiplikation existiert, nennen wir es a hoch ‒1 und schreiben dafür a ‒1 oder   1 _ a . Statt „zu a das Element minus b addieren“ (also a + (‒b) berechnen) sagen wir auch „b von a subtrahieren “. Statt „a mit dem Element b hoch ‒1 multiplizieren“ (also a·b ‒1 oder a·  1 _ b berechnen) sagen wir auch „a durch b dividieren “. Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz für die Multiplikation gilt, heißt M zusammen mit + und * ein kommutativer Ring . Wenn in einem kommutativen Ring zusätzlich gilt, dass es zu jedem von 0 (dem neutralen Element der Addition) verschiedenen Element ein inverses Element bezüglich der Multiplikation gibt, dann heißt M zusammen mit + und * ein Körper . In einem Körper können wir also addieren, multiplizieren, subtrahieren und durch alle vom Nullelement verschiedenen Elemente dividieren (das heißt, wir können alle „Grundrechnungs arten“ ausführen). Tipp Man kann sich das kurz so merken: Eine Menge mit zwei Rechenoperationen + und * ist ein Körper, wenn man mit ihren Elementen wie mit reellen Zahlen rechnen kann. Eine Menge mit zwei Rechenoperationen + und * ist ein kommutativer Ring, wenn man mit ihren Elementen wie mit ganzen Zahlen rechnen kann. Eine Menge mit zwei Rechenoperationen + und * ist ein Ring (aber nicht kommutativ), wenn man mit ihren Elementen wie mit n×nMatrizen rechnen kann. Achtung Die Worte „Ring“ und „Körper“ haben im Alltag, in der Geometrie und in der Physik eine andere Bedeutung als in der Algebra. Die Mehrfachverwendung eines Wortes für verschiedene Begriffe kommt in allen Sprachen vor. Es ist dann nicht sinnvoll zu versuchen, zwischen den verschiedenen Bedeutungen eines Wortes Beziehungen herzustellen. Beispiel für einen kommutativen Ring: Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation ist ein kommutativer Ring. Beispiele für Körper: Die Menge der rationalen Zahlen zusammen mit der Addition und der Multiplikation ist ein Körper, ebenso die Menge der reellen und die Menge der komplexen Zahlen. Ring Nullelement Einselement kommutativer Ring Körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv