Mathematik HTL 3, Schulbuch

236 Algebraische Strukturen 1030 Mit M bezeichnen wir die Teilmenge {a + b 9 _ 2 ‡ a, b * Q } der Menge aller reellen Zahlen. Wegen (a + b 9 _ 2) + (c + d 9 _ 2) = (a + c) + (b + d) 9 _ 2und (a + b 9 _ 2)·(c + d 9 _ 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 9 _ 2 sind Summe und Produkt von Zahlen in M wieder Elemente von M. a. Überprüfe, ob M mit der Addition und der Multiplikation ein Körper ist. b. Bestimme das zu 3 + 5 9 _ 2inverse Element (3 + 5 9 _ 2) ‒1 . a. Da die Elemente von M reelle Zahlen sind, sind die Rechenregeln eines kommutativen Ringes alle erfüllt. Es ist nur noch nachzuprüfen, ob es (falls (a, b) ≠ (0, 0) ist) zu jedem Element a + b 9 _ 2von M ein inverses Element in M gibt. Anders formuliert: Wir müssen überprüfen, ob die reelle Zahl   1 _  a + b 9 _ 2 wieder ein Element von M ist. Dazu muss es rationale Zahlen c und d geben, sodass   1 _  a + b 9 _ 2 = c + d 9 _ 2 ist, das heißt: (a + b 9 _ 2)·(c + d 9 _ 2) = 1. Also muss es zu vorgegebenen rationalen Zahlen a und b, die nicht beide 0 sind, immer rationale Zahlen c und d geben so, dass a·c + 2b·d = 1 und b·c + a·d = 0 ist. Das ist ein System von 2 linearen Gleichungen mit 2 Unbekannten c und d. Wir erhalten dafür immer eine Lösung und zwar c =   a __  a 2 – 2b 2 und d = ‒   b __  a 2 – 2b 2 . Die Zahl a 2 – 2b 2 kann nicht 0 sein, weil in diesem Fall 2 = 2    a _  b 3 2 und somit 2 das Quadrat einer rationalen Zahl wäre. Wir wissen aber, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl sein kann. Daher ist die Menge M mit der Addition und der Multiplikation ein Körper. b. Wir suchen Zahlen c und d so, dass (3 + 5 9 _ 2)·(c + d 9 _ 2) = 1 ist. Es ist (3 + 5 9 _ 2)·(c + d 9 _ 2) = 3c + 3d 9 _ 2+ 5c 9 _ 2+ 10d = (3c + 10d) + (5c + 3d) 9 _ 2 . Also ist I) 3c + 10d = 1 II) 5c + 3d = 0. Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen c = ‒   3 _  41 und d =   5 _  41 . Daher ist (3 + 5 9 _ 2) ‒1 = ‒   3 _  41  +   5 _  41  9 _ 2 . 1031 Mit M bezeichnen wir die Teilmenge {a + b 9 _ 3 ‡ a, b * Q } von R . a. Zeige, dass diese Menge mit Addition und Multiplikation von reellen Zahlen ein Körper ist. b. Bestimme das zu 1 + 4 9 _ 3inverse Element (1 + 4 9 _ 3) ‒1 . 1032 Mit Q 2 bezeichnen wir die Menge aller Paare von rationalen Zahlen. Wir definieren auf Q 2 eine Addition und eine Multiplikation folgendermaßen: Für alle rationalen Zahlen a, b, c, d ist (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) und (a, b) * (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc). Es ist mühsam, aber einfach nachzuprüfen, dass Q 2 mit diesen Rechenoperationen ein kommutativer Ring ist. Bestimme das Nullelement und das Einselement. Zeige dann, dass dieser kommutative Ring sogar ein Körper ist. Siehst du einen Zusammenhang mit dem Rechnen mit 9 _ 5? Schreibe dazu a + b 9 _ 5statt (a, b). 1033 a. Zeige, dass Summe und Produkt von reellen Polynomfunktionen wieder reelle Polynom funktionen sind. b. Zeige, dass die Menge der Polynomfunktionen mit diesen Rechenoperationen ein kommutativer Ring ist. c. Argumentiere, warum dieser Ring kein Körper ist. B, D prüfen, ob eine Menge mit zwei Rechen operationen ein Körper ist B, D B, C, D D Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv