Mathematik HTL 3, Schulbuch

237 5.1 Rechenregeln 1034 a. Zeige: Wenn die Menge M zusammen mit den Rechenoperationen + und * ein kommutativer Ring ist, dann gilt für alle Elemente a, b von M: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 und (a + b) * (a – b) = a 2 – b 2 . Dabei schreiben wir wie beim Rechnen mit reellen Zahlen 2ab für a * b + a * b und a 2 für a * a. b. Untersuche, ob das auch in Ringen gilt, die nicht kommutativ sind. Hinweis: Überlege, ob das im Ring der n×nMatrizen gilt. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann Gemeinsamkeiten in den Rechenregeln für Zahlen, Matrizen und Funktionen erkennen. 1035 Bestimme das neutrale Element der Rechenoperation. a. Addition von ganzen Zahlen b. Multiplikation von n×nMatrizen c. Multiplikation von Funktionen von R nach R d. Zusammensetzung von Funktionen von R nach R e. Addition von nTupeln von ganzen Zahlen Ich kenne die Begriffe Gruppe, Ring und Körper und lerne nachzuprüfen, ob sie auf gegebene Rechenoperationen zutreffen. 1036 Kreuze an, ob die Menge mit den angeführten Rechenoperationen eine Gruppe, einen Ring, einen Körper, oder keines von den dreien bildet. Mehrfachnennungen sind möglich. a. die Menge aller natürlichen Zahlen mit der Addition A  Gruppe B  Ring C  Körper D  weder noch b. die Menge aller ganzen Zahlen mit der Addition A  Gruppe B  Ring C  Körper D  weder noch c. die Menge aller ganzen Zahlen mit der Multiplikation A  Gruppe B  Ring C  Körper D  weder noch d. die Menge aller ganzen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation A  Gruppe B  Ring C  Körper D  weder noch e. Die Menge aller rationalen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation. A  Gruppe B  Ring C  Körper D  weder noch 1037 Mit M bezeichnen wir die Menge {a + b·j ‡ a, b * Z } von komplexen Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil. Zur Erinnerung: j·j = ‒1, (a + b·j) + (c + d·j) = (a + c) + (b + d)·j und (a + b·j)·(c + d·j) = (ac – bd) + (ad + bc)·j. a. Zeige, dass M zusammen mit der Addition eine kommutative Gruppe ist. b. Zeige, dass M zusammen mit der Addition und der Multiplikation ein kommutativer Ring ist. c. Begründe, warum dieser Ring kein Körper ist. 1038 Mit M bezeichnen wir die Menge aller 2×2Matrizen ​ 2  ​  a    b ​ ​ ‒b a ​  3 ​mit a, b * R . a. Zeige, dass M zusammen mit der Addition von Matrizen eine kommutative Gruppe ist. b. Zeige, dass die Menge M\{0} ohne die Nullmatrix zusammen mit der Multiplikation von Matrizen eine kommutative Gruppe ist. c. Zeige, dass in M auch das Distributivgesetz gilt, und dass M somit ein Körper ist. D A D D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv