Mathematik HTL 3, Schulbuch

239 5.2 Restklassenringe Für natürlichen Zahlen a, b und c mit b ≠ 0 ist a mod b = c mod b genau dann, wenn b die Zahl a – c teilt. Wenn nämlich a mod b = c mod b ist, dann ist 0 = a mod b – c mod b = (a – c) mod b, also ist der Rest von a – c nach Division mit Rest durch b gleich 0, somit b ein Teiler von a – c. 1039 Berechne den Rest von a = (15 2 + 98 – 32)·58 nach Division mit Rest durch 14. Es ist nicht notwendig, zuerst die Zifferndarstellung von a zu berechnen und dann a mit Rest durch 14 zu dividieren. Das wäre ein zu großer Aufwand. Wir verwenden die Regeln für das Rechnen mit Resten: a mod 14 = [((15 mod 14)(15 mod 14) + 98 mod 14 – 32 mod 14)·(58 mod 14)] mod 14 = = [(1·1 + 0 – 4)·2] mod 14 = (‒6) mod 14 = (‒ 6 + 14) mod 14 = 8 Achtung Die Hochzahlen dürfen nicht durch ihre Reste ersetzt werden. Zum Beispiel ist 2 3 mod 3 = 8 mod 3 = 2, aber 2 3 mod 3 mod 3 = 2 0 mod 3 = 1. 1040 Berechne die Reste. Versuche dabei, immer mit möglichst kleinen Zahlen zu rechnen. a. 34 6 mod 29 c. 5 14 mod 14 e. 144 3 mod 25 b. 5 13 mod 13 d. 12 7 mod 10 f. 18 123456789 mod 17 1041 Berechne die Reste. Versuche dabei, immer mit möglichst wenig Aufwand zu rechnen. a. (98 5 + 345·567 – 58 3 + 654 5 – 45299) mod 2 d. 96 3 mod 36 b. (57 68 – 18 3 – 3991201134) mod 2 e. (75 3 + 2·75 2 – 75) mod 45 c. (20 12 – 3·19 12 ) mod 5 f. 18 123456789 mod 9 1042 Überprüfe „(a·c) mod b = ((a mod b)·(c mod b)) mod b“ für a = 24, b = 17, c = 31. 1043 Zeige, dass die Rechenregel „Für alle natürliche Zahlen a, b, c mit b ≠ 0 ist (a·c) mod b = ((a mod b)·(c mod b)) mod b“ richtig ist. 1044 Berechne mit einem CAS für alle natürlichen Zahlen n von 0 bis 22 die Reste von n 2 nach Division durch 23. Zeichne die Menge {(n, n 2 mod 23) ‡ n * N , n < 23} in ein Koordinatensystem. 1045 Die Ziffernsumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern, zum Beispiel ist die Ziffernsumme von 365 gleich 3 + 6 + 5 = 14. Gegeben ist eine Zahl a. Berechne die Reste von a nach Division mit Rest durch 3 und durch 9. Berechne die Reste der Ziffernsumme von a nach Division mit Rest durch 3 und durch 9. Was fällt dabei auf? a. a = 2543 b. a = 5942 c. a = 8811 d. a = 1 000 1046 Zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ist der Rest von 10 n nach Division mit Rest durch 3 oder durch 9 gleich 1. 1047 Zeige: Der Rest einer natürlichen Zahl nach Division mit Rest durch 3 oder durch 9 ist gleich dem Rest der Ziffernsumme dieser Zahl nach Division mit Rest durch 3 oder durch 9. Leite daraus eine „Teilbarkeitsregel“ für die Zahlen 3 und 9 ab. Hinweis: Erinnere dich dazu, wie die Zifferndarstellung einer Zahl definiert ist und verwende Aufgabe 1046. 1048 Entwickle gemeinsam mit drei Mitschülerinnen oder Mitschülern eine Teilbarkeitsregel für die Zahl 11. Dokumentiert eure Vorgehensweise und vergleicht eure Ergebnisse mit den Ergebnissen der anderen Gruppen. B Rest berechnen  ggb/xls/tns qv7z4u B B D D B  ggb  n9iv58 B, C D D C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv