Mathematik HTL 3, Schulbuch

241 5.2 Restklassenringe Der Ring der Restklassen Z n Mit Z n bezeichnen wir die Menge {0, 1, 2, …, n – 1}, dabei ist n eine natürliche Zahl, die größer als 1 ist. Wir betrachten auf Z n die Rechenoperationen Z n × Z n ¥ Z n , (a, b) ¦ a + n b = (a + b) mod n und Z n × Z n ¥ Z n , (a, b) ¦ a× n b = (a·b) mod n. Mit diesen zwei Rechenoperationen ist Z n ein kommutativer Ring. Das Nullelement ist 0 und das Einselement ist 1. Dieser Ring heißt Ring der Restklassen modulo n . Die Eigenschaften eines Ringes können alle nachgeprüft werden. Für jede natürliche Zahl n º 2 können wir diese Rechenoperationen durch eine „Additionstafel“ und eine „Multiplikationstafel“ darstellen. Beispiele: Additionstafel für n = 2 + 2 0 1 Der Eintrag 1 in der dritten Zeile und zweiten Spalte bedeutet 1 + 2 0 = 1, 0 in der dritten Zeile und dritten Spalte bedeutet 1 + 2 1 = 0 (der Rest von 1 + 1 nach Division mit Rest durch 2 ist 0). 0 0 1 1 1 0 Multiplikationstafel für n = 2 × 2 0 1 Der Eintrag 0 in der dritten Zeile und zweiten Spalte bedeutet 1 × 2 0 = 0, 1 in der dritten Zeile und dritten Spalte bedeutet 1 × 2 1 = 1. Da 1 in Z 2 das einzige von 0 verschiedene Element ist und 1 ein inverses Element, nämlich 1, hat, ist Z 2 ein Körper. 0 0 0 1 0 1 Multiplikationstafel für n = 4 × 4 0 1 2 3 Der Eintrag 0 in der vierten Zeile und vierten Spalte bedeutet 2× 4 2 = 0 ((2·2) mod 4 = 0). Die Zahl 1 in der fünften Zeile und fünften Spalte bedeutet 3× 4 3 = 1 ((3·3) mod 4 = 1). Die Zahl 3 ist also bezüglich der Multiplikation × 4 zur Zahl 3 invers. In der vierten Zeile kommt 1 nicht vor, also hat 2 in Z 4 kein inverses Element. Z 4 kann daher kein Körper sein. 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Für welche natürlichen Zahlen n ist Z n ein Körper? Das sind genau jene Zahlen n, für die jedes von 0 verschiedene Element von Z n ein inverses Element hat. Also jene natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft: Zu jedem Element a ≠ 0 von Z n gibt es ein Element b von Z n mit a× n b = (a·b) mod n = 1. Wenn n = u·v das Produkt von zwei natürlichen Zahlen > 1, also keine Primzahl ist, dann ist u× n v = (u·v) mod n = n mod n = 0. Die Zahl v kann daher in Z n kein inverses Element w haben, weil aus 1 = v × n w folgen würde, dass u = u× n 1 = u× n (v × n w) = (u× n v) × n w = 0× n w = 0 ist. Das stünde im Widerspruch zu u > 1. Daher kann Z n mit + n und × n höchstens dann ein Körper sein, wenn n eine Primzahl ist. Wir werden im Weiteren zeigen, dass das für jede Primzahl n der Fall ist und auch ein Verfahren angeben, wie man die zu einer Zahl in Z n inverse Zahl berechnet. ggb jb76k3 Ring der Restklassen modulo n Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv