Mathematik HTL 3, Schulbuch

244 Algebraische Strukturen 1069 Zeige: Wenn ein Element a in Z n invertierbar ist, dann ist die Funktion f: Z n ¥ Z n  , z ¦ a× n  z umkehrbar. Gib in diesem Fall die Umkehrfunktion an. 1070 Wenn man jedem Buchstaben eine Zahl zwischen 0 und 25 zuordnet (a ¥ 0, b ¥ 1, …, z ¥ 25), dann kann man jede Nachricht durch Aneinanderreihen von Zahlen zwischen 0 und 25 darstellen. Zum Beispiel wird das Wort „Gruppe“ durch 6 17 20 15 15 4 dargestellt. Diese Nachricht kann verschlüsselt werden, wenn man jede dieser Zahlen mit einer fest gewählten Zahl a, die in Z 26 invertierbar ist, multipliziert. Man berechnet also die Funktionswerte der Zahlen unter f: Z 26 ¥ Z 26  , z ¦ a× 26  z. a. Verschlüssele so das Wort „Gruppe“ mit a = 9 und mit a = 19. b. Überlege, wie der Empfänger (der weiß, wie verschlüsselt wurde) daraus die ursprüngliche Nachricht zurückgewinnen kann. Überprüfe deine Überlegungen, indem du den Text entschlüsselst. 1071 Welche der Zahlen ist zu 10 bezüglich der Multiplikation in Z 23 invers? A  16 B  7 C  10 D  22 1072 a. Berechne 1 4 , 2 4 , 3 4 , 4 4 in Z 5  . b. Berechne 1 6 , 2 6 , 3 6 , 4 6 , 5 6 , 6 6 in Z 7  . 1073 Berechne 1 3 , 2 3 , 3 3 in Z 4 und vergleiche das Ergebnis mit Aufgabe 1072. Formuliere eine Vermutung dazu. 1074 Wie viele invertierbare Elemente enthält der Ring Z n für die gegebene Zahl n? a. n = 2·3 = 6 b. n = 2·5 = 10 c. n = 3·5 = 15 d. n = 3·7 = 21 1075 Begründe: Die Anzahl der invertierbaren Elemente in Z n ist die Anzahl der natürlichen Zahlen k mit 0 < k < n, die zu n teilerfremd sind. 1076 Begründe: Wenn n = p·q das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen ist, dann ist die Anzahl der invertierbaren Elemente in Z n gleich (p – 1)·(q – 1). Hinweis: Bestimme zuerst die Anzahl der nicht-invertierbaren Elemente und subtrahiere diese von p·q. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne Rechenregeln für das Rechnen mit Resten und kann sie anzuwenden. 1077 Berechne die Reste. Versuche dabei, immer mit möglichst wenig Aufwand zu rechnen. Gib die Rechenregeln an, die du dabei verwendest. a. (23 3 – 43 553 ·15 – 456·789) mod 5 b. (56 79 + 2 32 + 446·99) mod 8 Ich kenne einige Ringe und Körper mit endlich vielen Elementen. 1078 Berechne die Multiplikationstafel für den Ring Z 8  . Lies daraus ab, welche Elemente von Z 8 invertierbar sind und bestimme die zu diesen inversen Elemente. Ich kenne den erweiterten euklidischen Algorithmus und kann die inversen Elemente bezüglich der Multiplikation in Z n berechnen. 1079 Berechne mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus ganze Zahlen u und v so, dass u·92 + v·72 = ggT(96,72) ist. 1080 Berechne das zu 30 inverse Element in Z 41  . D B, D B B B, C B D D B, C B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv