Mathematik HTL 3, Schulbuch

248 Zusammenfassung Eine Rechenoperation auf einer Menge M ist eine Funktion M×M ¥ M, die jedem Paar von Elementen aus M genau ein Element von M zuordnet. Eine Menge mit einer Rechenoperation ist eine kommutative Gruppe , wenn für diese Rechenoperation dieselben Rechenregeln gelten wir für die Addition von ganzen Zahlen. Eine Menge mit zwei Rechenoperationen ist ein Ring , wenn für diese Rechenoperationen diesel­ ben Rechenregeln gelten wir für die Addition und Multiplikation von n×nMatrizen. Eine Menge mit zwei Rechenoperationen ist ein kommutativer Ring , wenn für diese Rechen­ operationen dieselben Rechenregeln gelten wir für die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen. Eine Menge mit zwei Rechenoperationen ist ein Körper , wenn für diese Rechenoperationen dieselben Rechenregeln gelten wir für die Addition und Multiplikation von rationalen oder reellen Zahlen. Für natürliche Zahlen a und b mit b ≠ 0 bezeichnen wir den Rest von a nach Division durch b mit a mod b (sprich: „a mod b“ oder „a modulo b“). Diese Zahl ist eine natürliche Zahl, die kleiner als b ist. Der Rest a mod b ändert sich nicht, wenn man zu a ein Vielfaches von b addiert: Für alle natürlichen Zahlen t ist (a + t·b) mod b = a mod b. Wenn a eine negative ganze Zahl ist, dann wählen wir ein Vielfaches t·b von b so, dass a + t·b > 0 ist und definieren a mod b als den Rest von a + t·b nach Division durch b. Für ganze Zahlen a, b, c mit b ≠ 0 gilt: ƒ ƒ (a + c) mod b = ((a mod b) + (c mod b)) mod b „Der Rest der Summe ist der Rest der Summe der Reste.“ ƒ ƒ (a – c) mod b = ((a mod b) – (c mod b)) mod b „Der Rest der Differenz ist der Rest der Differenz der Reste.“ ƒ ƒ (a·c) mod b = ((a mod b)·(c mod b)) mod b „Der Rest des Produktes ist der Rest des Produktes der Reste.“ Mit Z n bezeichnen wir die Menge {0, 1, 2, …, n – 1}, dabei ist n eine natürliche Zahl, die größer als 1 ist. Wir betrachten auf Z n die Rechenoperationen Z n × Z n ¥ Z n  , (a, b) ¦ a + n b = (a + b) mod n und Z n × Z n ¥ Z n  , (a, b) ¦ a× n b = (a·b) mod n. Mit diesen zwei Rechenoperationen ist Z n ein kommutativer Ring. Dieser heißt Ring der Restklassen modulo n . Er ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus kann man zu je zwei natürlichen Zahlen a und b mit b ≠ 0 zwei ganze Zahlen u und v mit der Eigenschaft u·a + b·v = ggT(a, b) berechnen. Eine Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge von M×M. Der Graph einer Funktion von einer Teilmenge von M nach M ist eine Relation auf M. Eine Äquivalenzrelation ist eine reflexive, symmetrische und transitive Relation. Eine Ordnungsrelation ist eine antisymmetrische und transitive Relation. Rechenoperation kommutative Gruppe Ring kommutativer Ring Körper a mod b Rechnen mit Resten Ringe der Restklassen modulo n erweiterter euklidischer Algorithmus Relation Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv