Mathematik HTL 3, Schulbuch

44 Differentialrechnung 141 Berechne die lineare Näherung und die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x 3 an der Stelle a. Wir schreiben f(x) in der Form f((x – a) + a) und erhalten f(a) = ((x – a) + a) 3 = (x – a) 3 + 3·(x – a) 2 ·a + 3·(x – a)·a 2 + a 3 = = (x – a) 3 + 3a·(x – a) 2 + 3a 2 ·(x – a) + a 3 Also ist die lineare Näherung von f an der Stelle a die Funktion h mit h(x) = 3a 2 ·(x – a) + a 3 bzw. h(x) = a 3 + 3a 2 ·(x – a) und f’(a) = 3a 2 . 142 Stelle die lineare Funktion f in der Form f(x) = f(a) + c·(x – a) dar. a. f(x) = 3x – 5; a = 4 b. f(x) = 2x + 9; a = 3 c. f(x) = ​  1 _  2 ​x – 3; a = ‒1 143 Berechne die Ableitung der linearen Funktion f an der Stelle a. a. f(x) = 3x + 4 b.  f(x) = ‒ 2x – 5 c.  f(x) = 7 d.  f(x) = 567x + 987067898576 144 Schreibe die gegebene Polynomfunktion f in der Form f(1) + c·(x – 1) + u(x)·(x – 1) 2 an, wobei c eine Zahl und u eine Polynomfunktion ist. Bestimme dann die Ableitung und die lineare Nähe­ rung der Funktion an der Stelle 1. a. f(x) = x 3 b. f(x) = x 2 + 2x + 3 c. f(x) = 3x 3 + x 2 – 1 d. f(x) = x 4 145 Die Polynomfunktion f wird für eine reelle Zahl a in der Form f(a) + c·(x – a) + u(x)·(x – a) 2 geschrieben. Ermittle, welche Zahl c zur gegebenen Funktion f passt und begründe durch Rechnung. a. f(x) = 2x A  c = 0 B  c = 2a C  c = a D  c = 2 b. f(x) = x 2 + 1 A  c = 1 B  c = 2a + 1 C  c = 2a D  c = a 2 + 1 c. f(x) = 3x 2 + 3x A  c = 3a + 3 B  c = 6a + 3 C  c = 6a D  c = 3a 2 + 3 d. f(x) = x 3 + 2x 2 + x A  c = a 3 + 2a 2 + a B  c = 3a + 4 C  c = 3a 2 + 4a + 1 D  c = 0 146 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 – 6x 2 + 8x + 1. Erstelle einen Schieberegler, mit dem du die Zahl a in einem Bereich von ‒5 bis +5 variieren kannst. Stelle anschließend den Graphen von f und den Graphen von f(a) + f’(a)·(x – a) in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar und beobachte, was geschieht, wenn du den Schiebe­ regler betätigst. 147 Untersuche die Graphen der Polynomfunkionen f mit f(x) = x 2 + x + 1 und g mit g(x) = x 3 + x 2 + x + 1 über dem Intervall [‒0,1; 0,1] und vergleiche sie mit dem Graphen der linearen Funktion h mit h(x) = x + 1. Gehe dazu wie folgt vor: a. Erstelle für die Funktionen Wertetabellen im Intervall [‒0,1; 0,1]. b. Zeichne die Graphen der Funktionen in diesem Intervall. c. Gib an, für welche Argumente die Funktionswerte der drei Polynomfunktionen bei Rundung auf 3 Stellen nach dem Komma gleich sind. B die lineare Näherung einer Polynom­ funktion an einer Stelle berechnen B B B B, D B, C A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv