Mathematik HTL 3, Schulbuch

45 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen Die Ableitung von Potenzfunktionen Wie differenzieren wir die Potenzfunktion f mit f(x) = x n an der Stelle a? Wir schreiben x = a + (x – a) und berechnen durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen nach Potenzen von x – a x n = (a + (x – a)) n = a n + n·a n – 1 ·(x – a) + … + (x – a​)​ n ​. Daher ist für alle reellen Zahlen x x n = a n + n·a n – 1 ·(x – a) + u(x)·(x – a) 2 , wobei u eine gewisse Polynomfunktion ist, die wir aber nicht auszurechnen brauchen. Die Ableitung der Potenzfunktion f mit f(x) = x n ist f’ mit f’(x) = n·​x​ n – 1 ​ , die lineare Näherung von f an der Stelle a ist h mit h(x) = a n + n·a n – 1 ·(x – a). 148 Berechne die Ableitung und die lineare Näherung der Potenzfunktion f an der Stelle a. Bestimme dann näherungsweise f(a + 0,01). a. f(x) = x 4 ; a = 1 b. f(x) = x 5 ; a = 2 c. f(x) = x 3 ; a = ‒1 d. f(x) = x 6 ; a = 2 Rechenregeln für die Ableitung: Summenregel und Faktorregel Die Summe f + g zweier Funktionen f und g von R nach R ist die Funktion von R nach R , die jeder Zahl z die Zahl f(z) + g(z) zuordnet: f + g: R ¥ R , z ¦ f(z) + g(z) Wenn t eine reelle Zahl ist, dann ist das t-Fache t·f einer Funktion f von R nach R die Funktion von R nach R , die jeder Zahl z die Zahl t·f(z) zuordnet: t·f: R ¥ R , z ¦ t·f(z) Für eine Zahl a und Polynomfunktionen f und g schreiben wir für alle reellen Zahlen x f(x) = f(a) + c 1 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 1  (x) und g(x) = g(a) + c 2 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 2  (x), dabei sind c 1 = f’(a) und c 2 = g’(a) Zahlen und u 1 und u 2 Polynomfunktionen. Dann ist (f + g)(x) = f(a) + c 1 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 1  (x) + g(a) + c 2 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 2  (x) = = (f(a) + g(a)) + (c 1 + c 2 )·(x – a) + (x – a) 2 ·(u 1  (x) + u 2  (x)) = = (f + g)(a) + (c 1 + c 2 )·(x – a) + (x – a) 2 ·(u 1 + u 2 )(x). Die Ableitung der Summe von Polynomfunktionen ist die Summe ihrer Ableitungen, also ist für alle reellen Zahlen a (f + g)’(a) = f’(a) + g’(a) . Kurz: (f + g)’ = f’ + g’ 149 Berechne die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 + x 3 . Die Ableitung von x 2 ist 2x und die Ableitung von x 3 ist 3x 2 . Daher ist die Ableitung von f die Funktion f’ mit f’(x) = 2x + 3x 2 . Ebenso leicht überlegen wir uns, was die Ableitung des tFachen der Polynomfunktion f ist. Wenn f(x) = f(a) + c·(x – a) + (x – a) 2 ·u(x) ist, dann ist t·f(x) = t·f(a) + t·c·(x – a) + t·(x – a) 2 ·u(x) = (t·f)(a) + (t·c)·(x – a) + (x – a) 2 ·(t·u)(x), also ist t·c = t·f’(a) die Ableitung von t·f an der Stelle a und (t·f)’ = t·f’. Ableitung von Potenz­ funktionen B Summe von Funktionen Vielfaches einer Funktion Summenregel B  ggb/mcd/tns tc453a eine Polynom­ funktion mithilfe der Summen­ regel ableiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv