Mathematik HTL 3, Schulbuch

46 Differentialrechnung Die Ableitung des tFachen einer Polynomfunktion ist das tFache ihrer Ableitung, also ist für alle reellen Zahlen a (t·f)’(a) = t·f’(a) . Kurz: (t·f)’ = t·f’ Beispiel: Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = 3·(x 2 + x 3 ) ist f’ mit f’(x) = 3·(2x + 3x 2 ) = 6x + 9x 2 . Weil jede Polynomfunktion eine Linearkombination von Potenzfunktionen, also Summe von Vielfachen von Potenzfunktionen ist, können wir jetzt die Ableitung jeder Polynomfunktion anschreiben. Wir benutzen dabei die Summenregel, die Faktorregel und dass wir die Ableitung von Potenzfunktionen schon kennen. Die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + … + c 2 x 2 + c 1 x + c 0  , ist die Polynomfunktion f’ mit f’(x) = n·c n x n – 1 + (n – 1)·x n – 2 + … + 2c 2 x + c 1  . Die Ableitung einer Polynomfunktion mit Grad n ist also eine Polynomfunktion mit Grad n – 1. 150 Berechne die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 + 4x 3 und ihren Funktionswert an der Stelle 2. Die Ableitung von f ist die Funktion f’ mit f’(x) = ​  1 _ 2 ​·2x + 4·3x 2 = x + 12x 2 . Die Ableitung von f an der Stelle 2 ist daher f’(2) = 2 + 12·2 2 = 50. 151 Berechne die Ableitung der quadratischen Funktion q. a. q(x) = x 2 + 2x + 3 c. q(x) = 93,788x 2 + 34,56x + 3 b. q(x) = ‒7x 2 + 3,34 d. q(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 – ​  7 _ 3 ​x + ​  13 _ 19 ​ 152 Bestimme die Ableitung der Polynomfunktion p. a. p(x) = 3x 3 + 2x 2 + x b. p(x) = 2x 4 + ​  3 _ 2 ​x 2 – 1 c. p(x) = ​  5 _ 8 ​x 8 + 3x 2 153 Ermittle die Ableitung der Polynomfunktion p. a. p(x) = x 103 + x 45 + x 44 + x 29 + x + 1 b. p(x) = ‒1,34x 4 + 7,55x 3 + 5,99x 2 + 2x – 3,45 154 Berechne die Ableitung von f mit f(x) = 2x 4 – 3x + 1 an der Stelle ‒1 und ihre lineare Näherung an der Stelle ‒1. Berechne dann damit näherungsweise den Funktionswert von f an der Stelle ‒ 0,99. Es ist f’(x) = 2·4·x 3 – 3·x 0 + 0 = 8x 3 – 3. Die Ableitung an der Stelle ‒1 ist daher f’(‒1) = 8·(‒1) 3 – 3 = ‒11 und der Funktionswert von f an der Stelle ‒1 ist f(‒1) = (2·(‒1) 4 – 3·(‒1) + 1) = 6. Somit ist die lineare Näherung an der Stelle ‒1 die lineare Funktion h mit h(x) = 6 ‒11(x + 1). Der Funktionswert von f an der Stelle ‒0,99 ist also ungefähr der Funktionswert von h an der Stelle ‒0,99, also h(‒ 0,99) = 6 – 11·(0,01) = 6 – 0,11 = 5,89. Faktorregel Ableitung einer Polynomfunktion B die Ableitung einer Polynom­ funktion berechnen  ggb/mcd/tns 5t83pk B B B B die Ableitung einer Polynom­ funktion berechnen und sie mithilfe ihrer linearen Näherung nähe- rungsweise auswerten  ggb/mcd/tns tm82tf x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 2 2 4 8 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv