Mathematik HTL 3, Schulbuch

47 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen 155 Finde die lineare Näherung h der Funktion f an der Stelle a. a. f(x) = x 2 ; a = 0 c. f(x) = x 2 + 2x; a = 0 b. f(x) = x 2 ; a = 2 d. f(x) = x 2 + x – 1; a = ‒2 156 Berechne die Ableitung und die lineare Näherung h der Polynomfunktion f an der Stelle a. a. f(x) = x 4 + 3x 3 – 11x + 1; a = 0 c. f(x) = 2x 4 – 3x 3 + ​  1 _ 2 ​x 2 – 1; a = ‒1 b. f(x) = x 5 – 2x 4 + x 3 – 2x + 1; a = 1 d. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 3 + 277; a = 2 157 Berechne die Ableitung und die lineare Näherung h der Funktion f an der Stelle a und dann damit näherungsweise den Funktionswert von f an den Stellen a + 0,01 und a – 0,01. a. f(x) = x 5 + 2x 2 – 3; a = 1 b. f(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 + 7x – 2; a = ‒1 158 Ermittle, welche der linearen Funktionen h die lineare Näherung der gegebenen Polynom­ funktion f an der Stelle a ist. Begründe durch Rechnung. a. f(x) = x 3 ; a = 1 A  h(x) = 3x B  h(x) = 3x – 2 C  h(x) = 3x – 1 D  h(x) = 3x + 1 b. f(x) = 2x 2 + 5x – 4; a = ‒1 A  h(x) = 4x + 5 B  h(x) = 5x – 4 C  h(x) = x + 1 D  h(x) = x – 6 c. f(x) = 2x 3 + x 2 ; a = ​  1 _ 2 ​ A  h(x) = 6x 2 + 2x B  h(x) = 0 C  h(x) = 2x D  h(x) = ​  5 _ 2  ​x – ​  3 _ 4 ​ d. f(x) = 4x 2 – 2; a = ‒ ​  1 _ 2  ​ A  h(x) = ‒ 4x – 3 B  h(x) = ‒ 2 C  h(x) = 8x D  h(x) = ​  1 _ 2 ​x – 2 159 Ermittle, welche der Ableitungen richtig berechnet wurde, und begründe durch Rechnung. a. f(x) = x A  f’(x) = 0 B  f’(x) = 1 C  f’(x) = x D  f’(x) = 1·x b. f(x) = 2x 2 A  f’(x) = 2x B  f’(x) = 4x C  f’(x) = x 2 D  f’(x) = 2·2·x c. f(x) = x 2 – x A  f’(x) = x·(x – 1) B  f’(x) = 2x·(x – 1) C  f’(x) = 2x – x D  f’(x) = 2x – 1 160 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,2x 3 – 0,6x 2 – 1,8x + 7,2. Bestimme die lineare Näherung h dieser Funktion an der Stelle 1. Stelle die Graphen von f und h in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Berechne den absoluten Fehler, der entsteht, wenn man f(1,5) durch h(1,5) ersetzt. 161 Bestimme die lineare Näherung der Funktion f mit f(x) = 5x 2 – 2x + 1 an der Stelle 2. Berechne dann mithilfe der linearen Näherung den Funktionswert an den Stellen 1,98 und 2,02. Vergleiche die so ermittelten Näherungswerte mit den tatsächlichen Funktionswerten und gib den absoluten Fehler an. 162 In jedem CAS gibt es einen Befehl zum Differenzieren von Polynomfunktionen. Man muss dazu zumeist nicht nur die Polynomfunktion angeben, sondern auch wie man sie darstellt. Wir zum Beispiel haben immer den Buchstaben x dazu verwendet, das muss dem Computer bekannt gegeben werden. Ebenso gibt es Befehle zum Auswerten von Funktionen. Dabei muss die Funktion, die Zahl, deren Funktionswert berechnet werden soll und die Art der Darstellung der Funktion angegeben werden. Verwende ein CAS, um die Aufgabe 161 noch einmal zu lösen. Berechne dann mit dem CAS auch die exakten Funktionswerte und die Fehler, die durch die Näherung gemacht wurden. B B B B, D B, D B B, C B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv