Mathematik HTL 3, Schulbuch

48 Differentialrechnung 163 Berechne eine Polynomfunktion mit 0-tem Koeffizienten 3, deren Ableitung f’ mit f’(x) = ‒ x 4 – 2x 3 + 5x 2 – x + 23 ist. Der Grad der gesuchten Polynomfunktion muss 4 + 1 = 5 sein. Also kann sie als f(x) = c 5  x 5 + c 4  x 4 + c 3  x 3 + c 2  x 2 + c 1  x + c 0 geschrieben werden mit c 0 = 3. Es muss (c 5  x 5 + c 4  x 4 + c 3  x 3 + c 2  x 2 + c 1  x + 3)’ = ‒ x 4 – 2x 3 + 5x 2 –x + 23 sein. Weil (c 5  x 5 + c 4  x 4 + c 3  x 3 + c 2  x 2 + c 1  x + 3)’ = 5c 5  x 4 + 4c 4  x 3 + 3c 3  x 2 + 2c 2  x + c 1 ist und die Koeffizienten einer Polynomfunktion eindeutig bestimmt sind, muss 5c 5 = ‒1, also c 5 = ‒ ​  1 _ 5 ​ , 4c 4 = ‒ 2, also c 2 = ‒ ​  1 _ 2 ​ , 3c 3 = 5, also c 3 = ​  5 _ 3 ​ , 2c 2 = ‒1, also c 2 = ‒ ​  1 _ 2 ​und c 1 = 23 sein. Die gesuchte Polynomfunktion ist f mit f(x) = ‒ ​  1 _ 5 ​x 5 –  ​  1 _ 2 ​x 4 + ​  5 _ 3 ​x 3 –  ​  1 _ 2 ​x 2 + 23x + 3. 164 Wähle die Zahlen c 1  , c 2  , c 3  , c 4 so, dass die Ableitung von f mit f(x) = c 4  x 4 + c 3  x 3 + c 2  x 2 + c 1  x + 1 die gegebene Polynomfunktion f’ ist. a. f’(x) = 2x 3 + 4x 2 + 1 b.  f’(x) = ‒ 2x 3 + 7x 2 + ‒ 2x + 1 c.  f’(x) = 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1 165 Finde für die gegebene Ableitung f’ eine passende Funktion f. a. f’(x) = 6x 3 + 2x 2 – x + 5 c. f’(x) = ‒ 3x 2 + x + 7 b. f’(x) = 15x 4 – 3x 2 + 1 d. f’(x) = 8x 4 + 5x 3 – 2x 2 – x + ​  1 _ 2 ​ 166 Ermittle zur gegebenen Ableitung f’ eine passende Funktion f. a. f’(x) = ‒ 2x 5 + ​  3 _ 2 ​x 4 b.  f’(x) = ​  1 _ 5 ​x 7 + 4x 3 + 2 c. f’(x) = f’(x) = ​  3 _ 4  ​x 4 – ​  1 _ 2 ​x 3 + 23x 2 – 8 Rechenregeln für die Ableitung: Produktregel Erinnern wir uns: Das Produkt f·g zweier Funktionen f und g von R nach R ist die Funktion von R nach R , die jeder Zahl z die Zahl f(z)·g(z) zuordnet: f·g: R ¥ R , z ¦ f(z)·g(z) Achtung Können wir nun, ähnlich der Ableitung einer Summe, sagen, dass die Ableitung des Produktes das Produkt der Ableitungen ist? Vorsicht, das stimmt leider nicht! Berechnen wir die Ableitung eines Produktes. Für eine Zahl a und Polynomfunktionen f und g schreiben wir für alle reellen Zahlen x f(x) = f(a) + c 1 ·(x – a) + u 1  (x)·(x – a) 2 und g(x) = g(a) + c 2 ·(x – a) + u 2  (x)·(x – a) 2 , dabei sind c 1 = f’(a), c 2 = g’(a) Zahlen und u 1 , u 2 Polynomfunktionen. Dann ist (f·g)(x) = (f(a) + c 1 ·(x – a) + u 1  (x)·(x – a) 2 )·(g(a) + c 2 ·(x – a) + u 2  (x)·(x – a) 2 ) = = f(a)·g(a) + (c 1 ·g(a) + f(a)·c 2 )(x – a) + u(x)·(x – a) 2 , dabei ist u eine Polynomfunktion, die wir gar nicht ausrechnen müssen. Daher gilt für jede reelle Zahl a: (f·g)’(a) = c 1 ·g(a) + f(a)·c 2 = f’(a)·g(a) + f(a)·g’(a) = (f’·g + f·g’)(a). A, B eine Polynom­ funktion berechnen, deren Ableitung bekannt ist A, B A, B A, B Produkt von Funktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv