Mathematik HTL 3, Schulbuch

99 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 413 Skizziere den Graphen der Funktion f mit den angegebenen Bedingungen in einer Umgebung des vorgegebenen Punktes des Graphen. Orientiere dich dabei an Aufgabe 412. a. c. e. f(2) = 3, f’(2) = ​  1 _ 2 ​ , f’’(2) > 0 f(3) = 1, f’(3) = 0, f’’(3) < 0 f(0) = 0, f’(0) = 1, f’’(0) < 0 b. d. f. f(3) = 5, f’(3) = ‒1, f’’(3) < 0 f(1) = 3, f’(1) = ​  3 _ 4 ​ , f’’(1) > 0 f(4) = 3, f’(4) = ‒ ​  2 _ 3 ​ , f’’(4) > 0 414 Ermittle die Stellen, an denen die zweite Ableitung der Polynomfunktion p gleich 0 ist. Was bedeutet das für den Graphen der Funktion an dieser Stelle? a. p(x) = x 3 + 5x – 7 c. p(x) = x 3 – 6x 2 + 32 e. p(x) = x 4 + 2x 3 – 12x 2 – 8x + 32 b. p(x) = x 3 – 3x 2 + 4 d. p(x) = x 3 – 13x – 12 f. p(x) = ‒ x 4 + 4x 3 + 10x 2 – 28x + 15 415 Welche der Aussagen sind für alle Polynomfunktionen mit Grad 3 richtig? Begründe. A  Die Funktion hat immer ein Maximum. B  Die Funktion hat maximal 2 Extremstellen. C  Die Funktion kann kein globales Maximum haben. D  Die Funktion hat immer eine Wendestelle. E  Die Funktion hat mindestens eine Nullstelle. 416 Welche der Aussagen gelten für eine Polynomfunktion mit Grad 4? Begründe. A  Die Funktion kann 4 Nullstellen haben. B  Die Funktion hat mindestens eine Extremstelle. C  Die Funktion hat keine Wendestelle. D  Die Funktion hat immer ein globales Maximum. E  Die Funktion hat mindestens eine Nullstelle. 417 Bestimme alle Wendestellen sowie die Wendetangenten der Funktion f mit f(x) = ​  1 _ 2 ​x 4 – x 3 – ​  13 _ 2  ​x 2 + 7x + 12. Gib an, auf welchen Intervallen die Funktion konvex und auf welchen Intervallen die Funktion konkav ist. 418 Untersuche mithilfe eines CAS, ob die rationale Funktion f mit f(x) = ​  x _  x 2 + 1 ​Wendestellen hat, und gib diese gegebenenfalls an. 419 Ermittle, ob die Funktion f mit f(t) = ​  1 _  t 2 ​·e t Wendestellen hat, und gib diese gegebenenfalls an. A x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 x y 0 4 8 4 8 B, C D D B, C B B Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv