Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

178 Differentialgleichungen Daraus erhalten wir eine gute Beschreibung der Lösungsmenge von Differentialgleichungen, deren charakteristische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen hat. Auf die Herleitung der entsprechenden Ergebnisse für Differentialgleichungen, deren charakteristische Gleichung nur eine oder keine reelle Lösung hat, verzichten wir.  Wenn die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y’’ + ay’ + by = 0 zwei (verschiedene) reelle Lösungen u und v hat, dann ist die Lösungsmenge von y’’ + ay’ + by = 0 die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e ux + d·e vx mit (beliebigen) reellen Zahlen c und d.  Hat die charakteristische Gleichung nur eine reelle Lösung u , dann ist die Lösungsmenge von y’’ + ay’ + by = 0 die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e ux + d·x·e ux mit (beliebigen) reellen Zahlen c und d.  Wenn die charakteristische Gleichung keine reellen Lösungen hat, dann sind ihre komplexen Nullstellen konjugiert, also α + β j und α – β j für geeignete reelle Zahlen α und β . Die Lösungsmenge von y’’ + ay’ + by = 0 ist dann die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e α x ·cos( β x) + d·e α x ·sin( β x) mit (beliebigen) reellen Zahlen c und d. 673 Berechne die Lösungsmenge der homogenen linearen Differentialgleichung der Ordnung 2. Berechne dann eine Lösung y mit y(0) = 1 und y’(0) = 0. a. y’’ – 5y’ + 6y = 0 b. y’’ + 4y’ + 4y = 0 c. y’’ + 2y’ + 5y = 0 a. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung x 2 – 5x + 6 = 0 sind 2 und 3. Es gibt also zwei reelle Nullstellen. Dann ist die Lösungsmenge der Differentialgleichung die Menge aller Funktionen f mit f(t) = ce 2t + de 3t , wobei c und d beliebige reelle Zahlen sind. Es ist 1 = f(0) = c + d und 0 = f’(0) = 2c + 3d. Als Lösung dieses Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten erhalten wir c = 3 und d = ‒ 2. Es gibt daher genau eine Lösung der Anfangswertaufgabe, nämlich die Funktion f mit f(t) = 3e 2t – 2e 3t . b. Die charakteristische Gleichung x 2 + 4x + 4 = 0hat nur eine Lösung, und zwar ‒ 2. Daher ist die Lösungsmenge von y’’ + 4y’ + 4y = 0 die Menge aller Funktionen y mit y(t) = (c + d·t)e – 2t , für beliebige reelle Zahlen c und d. Es ist 1 = y(0) = c und 0 = y’(0) = d – 2c. Die Lösung diese Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist c = 1 und d = 2. Es gibt daher genau eine Lösung der Anfangswertaufgabe, nämlich die Funktion y mit y(t) = (1 + 2t)e ‒2t . c. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung x 2 + 2x + 5 = 0 sind ‒1 + 2j und ‒1 – 2j. Die Lösungsmenge ist daher die Menge aller Funktionen f mit f(t) = c·e ‒t cos(2t) + d·e ‒t sin(2t), für beliebige reellen Zahlen c und d. Es ist 1 = f(0) = c und 0 = f’(0) = ‒ c + 2d. Die Lösung diese Systems von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist c = 1 und d = 1 _ 2 . Es gibt daher genau eine Lösung der Anfangswertaufgabe, nämlich die Funktion y mit y(t) = e ‒t cos(2t) + 1 _ 2 e ‒t sin(2t). Lösungsmenge einer homogenen linearen Differential- gleichung der Ordnung 2 eine homogene lineare Differential- gleichung der Ordnung 2 lösen B ggb/mcd/tns cq3d2h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv