Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

179 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 674 Berechne die Lösungsmenge der Differentialgleichung. a. y’’ + 3y’ – 4y = 0 b. y’’ – 4y’ + 13y = 0 c. y’’ – 4y’ + 4y = 0 d. y’’ + 3y’ = 0 675 Berechne die Lösung der Differentialgleichung mit y(0) = 1 und y’(0) = ‒1. a. y’’ – 3y’ + 2y = 0 b. y’’ – 2y’ + y = 0 c. y’’ – 4y’ + 5y = 0 d. y’’ + 5y’ + 6y = 0 676 Die Lösungen der Differentialgleichung y’’ – (u + v)y’ + uv·y = 0 sind für u ≠ v die Funktionen f mit f(x) = k 1 ·e ux + k 2 ·e vx mit reellen Zahlen k 1 und k 2 . a. Stelle die Graphen dieser Funktionen mithilfe eines CAS oder DGS graphisch dar, wobei du die Parameter u, v, k 1 und k 2 durch Schieberegler variabel gestaltest und beobachte, wie sich der Verlauf der Kurve ändert, wenn man diese Parameter verändert. b. Dokumentiere deine Beobachtungen, indem du für jede Kombination u positiv/negativ, v positiv/negativ, k 1 positiv/negativ, k 2 positiv/negativ einen „typischen“ Funktionsgraphen auswählst. 677 Schreibe die Differentialgleichung, wenn möglich, in der Form (y’– uy)’ – v(y’ – uy) = 0mit reellen Zahlen u und v an. Zeige, dass dann (y’ – vy)’ – u(y’ – vy) = (y’ – uy)’ – v(y’ – uy) ist, und folgere daraus, dass alle Lösungen von y’ – uy = 0 und von y’ – vy = 0 Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. a. y’’ – 4y = 0 b. y’’ + 1 _ 2 y – 1 _ 2 = 0 c. y’’– 6y’ + 9y = 0 d. y’’ + 2y’ + 2y = 0 Gedämpfte Schwingungen In einem elektrischen Reihenschwingkreis sind ein Ohmscher Widerstand R, eine Spule mit Selbstinduktion L und ein Kon- densator mit Kapazität C und ein Schalter in Serie geschalten (siehe Zeichnung). Der Kondensator wird bei offenem Schalter auf die Spannung U 0 aufgeladen. Wird der Schalter geschlos- sen, dann fließt zur Zeit t der Strom mit der Stromstärke i(t). Die Funktion i beschreibt die gedämpfte Schwingung des Rei- henschwingkreises . Aus der Elektrizitätslehre ist bekannt, dass die Funktion i eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + R _ L ·y’ + 1 _ LC ·y = 0 ist. Man nennt μ = R _ 2L die Dämpfungskonstante und ω 0 = 1 _ 9 __ LC die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung des Reihenschwingkreises. Mit diesen Bezeichnungen ist i eine Lösung der Differen- tialgleichung y’’ + 2 μ ·y’ + ω 0 2 ·y = 0. Hängt eine kleine Kugel mit Masse m an einer Feder mit der Federkonstanten k > 0 und wird ihre Bewegung durch Reibung gedämpft, dann bezeichnen wir mit g(t) ihren Abstand zur Zeit t vom Null- punkt auf der Geraden durch die Feder. Die Funktion g beschreibt die gedämpfte Schwingung des Feder-Masse-Systems . Aus der Mechanik ist bekannt, dass die Funktion g eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + b _ m ·y’ + k _ m ·y = 0 ist, dabei ist b eine durch die Reibung bestimmte Zahl. Die Zahl μ = b _ 2m heißt Dämpfungskonstante und ω 0 = 9 _ k _ m Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung . Mit diesen Bezeichnungen ist g eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + 2 μ ·y’ + ω 0 2 ·y = 0. B B B, C D t = 0s U 0 R L u R u L u C C Differential- gleichung eines elektrischen Reihen- schwingkreises Differential- gleichung eines Feder-Masse- Systems m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv