Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

180 Differentialgleichungen Wir haben uns bereits überlegt, wie man diese Differentialgleichung löst: Für reelle Zahlen μ º 0 und ω 0 > 0 heißt y’’ + 2 μ y’ + ω 0 2 ·y = 0 die Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung . Die Zahl μ heißt Dämpfungskonstante . Wenn μ = 0 ist, dann spricht man von einer ungedämpften Schwingung . Die Zahl ω 0 heißt Kreis- frequenz der ungedämpften Schwingung . Die charakteristische Gleichung x 2 + 2 μ x + ω 0 2 = 0 hat die Lösungen ‒ μ + 9 ____ μ 2 – ω 0 2 und ‒ μ ‒ 9 ____ μ 2 – ω 0 2 . Falls 0 ª μ < ω 0 ist („ Schwingungsfall “), also die Dämp- fungskonstante kleiner als die Kreisfrequenz der unge- dämpften Schwingung ist, sind beide Nullstellen nicht reell. Jede Lösung kann dann als Funktion f mit f(t) = e ‒ μ t (c·cos( ω t) + d·sin( ω t)), für reelle Zahlen c und d, geschrieben werden, dabei ist ω = 9 ____ ω 0 2 – μ 2 . Die Funktion f ist das Produkt einer allgemeinen Sinusfunktion mit Kreisfrequenz ω und der Exponentialfunktion g mit g(t) = e ‒ μ t . Die Multipli- kation mit g bewirkt, dass die Amplituden mit größer werdendem t immer kleiner werden. Die Zahl ω = 9 ____ ω 0 2 – μ 2 heißt Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung , sie ist kleiner als ω 0 , die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung. Falls μ = ω 0 > 0 ist („ aperiodischer Grenzfall “), gibt es nur eine Nullstelle ‒ μ . Die Lösungsmenge ist dann {f mit f(t) = (c + dt)e ‒ μ t ‡ c, d * R }. Falls 0 < ω 0 < μ ist („ Kriechfall “), gibt es zwei reelle Nullstellen κ = ‒ μ + 9 ____ μ 2 – ω 0 2 und λ = ‒ μ ‒ 9 ____ μ 2 – ω 0 2 . Weil 9 ____ μ 2 – ω 0 2 < 9 __ μ 2 = μ ist, sind beide Nullstellen negative Zahlen. Die Lösungsmenge ist dann {f mit f(t) = c·e κ t + de λ t ‡ c, d * R }. Wenn ω 0 ª μ ist, also die Dämpfungskonstante größer oder gleich der Kreisfrequenz der unge- dämpften Schwingung ist, tritt keine echte Schwingung mehr auf. Für den elektrischen Schwingkreis bedeutet das: Nur wenn 1 _ 9 __ LC > R _ 2L ist, tritt eine echte Schwingung auf. Für das Feder-Masse-System bedeutet das: Nur wenn 9 _ k _ m > b _ 2m ist, tritt eine echte Schwingung auf. Differential- gleichung einer gedämpften Schwingung Schwingungsfall aperiodischer Grenzfall Kriechfall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv