Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

181 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 678 Berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe y’’ + 2 μ y’ + ω 0 2 y = 0, y(0) = 0 und y’(0) = 1. a. μ = 0, ω 0 = 2 b. μ = 1, ω 0 = 2 c. μ = 2, ω 0 = 2 a. y’’ + 4y = 0 ist die Differentialgleichung einer ungedämpften Schwingung. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung x 2 + 4 = 0 sind ‒ 2j und 2j, also ist die Funktion f mit f(t) = c·cos(2t) + d·sin(2t), f(0) = 0 und f’(0) = 1 die Lösung. Aus f(0) = 0 folgt c = 0, aus f’(0) = 1 folgt 2d = 1, also ist d = 1 _ 2 . Daher ist f die Funktion mit f(t) = 1 _ 2 sin(2t). b. y’’ + 2y’ + 4y = 0 ist die Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung. Die Lösungen von x 2 + 2x + 4 = 0 sind ‒1 + j 9 _ 3 und ‒1 – j 9 _ 3, also ist die Funktion f mit f(t) = e ‒t (d 1 cos( 9 _ 3 t) + d 2 sin( 9 _ 3 t)), f(0) = 0 und f’(0) = 1 die Lösung. Aus f(0) = 0 folgt d 1 = 0, aus f’(0) = 1 folgt d 2 = 9 _ 3 _ 3 . Daher ist f die Funktion mit f(t) = 9 _ 3 _ 3 ·e ‒t ·sin( 9 _ 3 t). c. y’’ + 4y’ + 4y = 0 ist die Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung. Die charakteristische Gleichung x 2 + 4x + 4 = 0 hat nur eine Nullstelle, und zwar ‒ 2. Daher ist die Funktion f mit f(t) = (c + d·t)e – 2t , f(0) = 0 und f’(0) = 1 die gesuchte Lösung. Aus f(0) = 0 folgt c = 0, aus f’(0) = 1 folgt d = 1. Daher ist f die Funktion mit f(t) = te ‒2t . 679 Berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe y’’ + 2 μ y’ + ω 0 2 y = 0, y(0) = 0 und y’(0) = 2. a. μ = 1, ω 0 = 1 b. μ = 0, ω 0 = 1 c. μ = 2, ω 0 = 1 680 An einer Feder mit Federkonstante 8000N/m hängt eine Masse mit 10 kg. Eine damit verbun- dene Dämpfungsvorrichtung hat den Reibungskoeffizienten 25 kg/s. Mit f bezeichnen wir die Funktion, die jedem Zeitpunkt t den Abstand f(t) der Masse von ihrem Ort zur Zeit 0 s zuordnet. a. Gib die Differentialgleichung an, deren Lösung die Funktion f ist. b. Bestimme f als Lösung dieser Differentialgleichung mit f(0) = 0 und f’(0) = 0. 681 An einer Spiralfeder hängt eine Masse m, die auf eine Feder eine Gewichtskraft von 20N ausübt und die Feder um 10 cm dehnt. Die Masse wird um weitere 6 cm nach unten gedehnt und dann losgelassen. Dabei wird angenommen, dass Reibungseffekte unberücksichtigt bleiben und dass auf die Masse m eine rücktreibende Kraft wirkt, die zu ihrer Auslenkung proportional ist, das heißt, es gilt das Hooke’sche Gesetz F = k·y. Mit y bezeichnen wir dabei die Funktion, die jedem Zeitpunkt t den Abstand y(t) der Masse von ihrem Ort zur Zeit 0 zuordnet. a. Zeige, dass für y gilt: y’’ + k _ m ·y = 0. b. Bestimme für jeden Zeitpunkt t den Ort y(t) der Masse zu diesem Zeitpunkt. c. Bestimme die Schwingungsfrequenz f, die Periodendauer T und die Amplitude A dieser Schwingung. d. Zeichne den Graphen der Funktion über einem Intervall, das etwa vier Schwingungsperioden enthält. Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă 1 -0,2 0,2 0 -0,4 -0,6 0,4 0,6 t f(t) eine Anfangs- wertaufgabe der Ordnung 2 lösen B ggb/tns c4h6r5 Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă 1 -0,1 0,1 0 0,2 0,3 t f(t) Ă 2 3 Ă 2 Ă 2 Ă 1 -0,1 0,1 0 0,2 0,3 t f(t) B A, B A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv