Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

182 Differentialgleichungen 682 a. Das Gewicht einer Masse von 4 kg dehnt eine Feder um 4 cm. Bestimme die Federkonstante. b. Mit y bezeichnen wir die Funktion, die jedem Zeitpunkt t den Abstand y(t) der Masse von ihrem Ort zur Zeit 0 s zuordnet. Die Masse ist zusätzlich mit einer Dämpfungseinrichtung mit der Dämpfungskonstanten r verbunden. Leite die Differentialgleichung her, deren Lösung die Funktion y ist. c. Für welche Dämpfungskonstante r tritt der aperiodische Grenzfall ein? 683 Liegt bei einem schwingungsfähigen Feder-Masse-System mit Masse m und Federkonstante k keine äußere Kraft und keine Dämpfung vor und ist y die Funktion, die jeder Zeit t die Auslenkung y(t) zuordnet, so ist m·y’’ + k·y = 0. a. Bestimme die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung. b. Ermittle die Lösung der Differentialgleichung für m = 5 kg und k = 300N/m mit y(0) = 0,3m und y’(0) = 0m/s. c. Untersuche, wie sich das Verhalten des Systems ändert, wenn die Anfangsbedingungen in Aufgabe b. zu y(0) = 0,4m und y’(0) = 0m/s verändert werden. 684 Ausschalten einer Gleichspannung in einem Serienschwingkreis: Bis zum Zeitpunkt 0 s war an einem Serienschwingkreis (mit Ohmschem Widerstand R, Spule mit Induktivität L und Konden- sator mit Kapazität C, siehe Zeichnung) eine Gleichspannung der Stärke U 0 angelegt. Ab diesem Zeitpunkt wird der Schalter umgelegt und damit der Schwingkreis kurzgeschlossen. Bestimme die Funktion u C , die jedem Zeitpunkt t den Span- nungsabfall u C (t) am Kondensator zuordnet. Dabei betrachten wir nur positive Zahlen t. Den Spannungsabfall zur Zeit t > 0 am Ohmschen Widerstand und an der Spule bezeichnen wir mit u R (t) und u L (t). Aus der Physik ist bekannt: u C ’’ + R _ L ·u C ’ + 1 _ LC ·u C = 0, u C (0) = U 0 und u C ’(0) = 0. Überlege gemeinsam mit deiner Banknachbarin oder mit deinem Banknachbarn: a. Schreibt die charakteristische Gleichung dieser Differentialgleichung an und bestimmt ihre Lösungen. b. Warum wird der Fall, dass beide Lösungen reell und nicht gleich sind, „Kriechfall“ genannt? c. Warum wird der Fall, dass es keine reellen Lösungen gibt, „Schwingungsfall“ genannt? d. Welcher dieser zwei Fälle liegt vor, wenn L = 0,05H, R = 1 000 Ω und C = 10 μ F ist? Bestimmt u C für U 0 = 100V und skizziert den Graphen von u C . e. Welcher dieser zwei Fälle liegt vor, wenn L = 0,5H, R = 50 Ω und C = 10 μ F ist? Bestimmt u C für U 0 = 100V und skizziert den Graphen von u C . f. Welche Lösung erhält man, wenn R = 0 Ω ist? Warum spricht man dann vom „ungedämpften Fall“? 685 Bis zum Zeitpunkt 0 s liegt an einer LC-Serienschaltung mit L = 1H und C = 250nF die Gleichspannungsquelle mit der Spannung U 0 = 120V. Zum Zeitpunkt 0 s wird dieser Serienschwingkreis kurzgeschlossen (siehe Zeichnung). a. Leite die Differentialgleichung u C ’’ + R _ L ·u C ’ + 1 _ LC ·u C = 0 für die Kondensatorspannung u C her. Verwende dazu i = C·u C ’ und u L = L·i’. b. Bestimme die Funktion u C , die jeder Zeit t die Spannung u C (t) am Kondensator zur Zeit t zuordnet. Leite davor aus der Angabe ab: u C (0) = 120V, i(0) = i C (0) = 0A und u C ’(0) = 0V/s. c. Zeichne den Graphen von u C für einen sinnvollen und aussagekräftigen Zeitbereich. A, B, C A, B, C t = 0s U 0 R L u R u L u C C B, C L u L U 0 C u C A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv