Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

190 Differentialgleichungen 714 Bestimme die Ordnung der Differentialgleichung. a. y (4) + (y’’’) 2 + 7y 10 = 0 c. g’’’ + 4(g’’’) 3 + g = h mit h(t) = sin(t) b. f’’·f’ + 3f’ + 4f 5 = 100 d. (h’’) 3 + h’’’ + 3h = 1 715 Prüfe, welche der Differentialgleichungen linear mit konstanten Koeffizienten sind. A f’’ + 2f’ + 3f = 1 B 3f’ – f 2 = 2 C y·y’’ + 2y = 3 D y’ = g mit g(t) = t 3 716 Zeige: y mit y(x) = 9 ____ 2ax + c ist eine Lösung der Differentialgleichung y·y’ = a. Dabei sind a und c reelle Zahlen und der Definitionsbereich von y ist die Menge aller Zahlen x mit 2ax + c º 0. 717 Welche Funktion ist Lösung der Differentialgleichung? Differentialgleichung Funktion a. y’’ – 2u·y’ + 4y = 0 mit u(x) = x A f mit f(x) = sin(3x) b. y’’ + 9y = 0 B g mit g(x) = ‒ 2 + 4x 2 c. y’’ + 1 _ 2 u·y’ – y = 10 mit u(x) = x C h mit h(x) = cos(3x) d. y’’ + u·y + v = 1 mit u(x) = sin(3x) und v(x) = cos(3x) D k mit k(x) = 6x 2 + 2 Richtungsfelder von Differentialgleichungen der Ordnung 1 Manche Differentialgleichungen der Ordnung 1 können geometrisch dargestellt werden. Durch eine Bedingung wie zum Beispiel f’ = g·f, dabei ist g eine beliebig gewählte Funktion, wird für jeden Punkt (a 1 f(a)) des Graphen der gesuchten Funktion f die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt vorgegeben, weil f’(a) = g(a)·f(a) sein muss. Zeichnet man durch einige Punkte (a 1 b) der Ebene ein kurzes Stück der Geraden durch (a 1 b) mit Steigung f’(a) = g(a)·b, erhält man das sogenannte Richtungsfeld dieser Differentialgleichung. Aus dem Richtungsfeld kann man für jeden Punkt (a 1 b) ablesen, welche Steigung die Tangente an den Graphen von f an der Stelle a haben muss, wenn (a 1 b) ein Punkt des Graphen von f ist. 718 a. Zeichne das Richtungsfeld der Differentialgleichung f’ = g·f mit g(x) = x. b. Skizziere dann den Graphen einer Lösung f dieser Differentialgleichung mit I. f(0) = 0 II. f(0) = 1 III. f(0) = ‒1. c. Zeige, dass alle Vielfachen der Funktion f mit f(x) = e 1 _ 2 x 2 Lösungen dieser Differentialgleichung sind. d. Zeichne mit einem CAS die Graphen der drei Funktionen f I = 0, f II = f und f III = ‒ f und vergleiche sie mit den von dir mithilfe des Richtungsfeldes skizzierten Graphen. a. Für einige Punkte (a 1 b) zeichnen wir ein kurzes Stück der Geraden durch (a 1 b) mit Steigung f’(a) = g(a)·b = a·b an. Wenn zum Beispiel a = 0 oder b = 0 ist, sind diese Geradenstücke parallel zur x-Achse. A, B D D B, D das Richtungs- feld einer Differential- gleichung zeichnen B ggb pr85tu x y 0 - 4 - 2 2 4 - 4 - 2 2 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv