Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

197 4.4 Uneigentliche Integrale 744 Überprüfe, ob das uneigentliche Integral von 1 bis • von f: [1; • ) ¥ R mit f(x) = 1 _ x existiert. Für z º 1 ist : 1 z 1 _ x dx = ln(z) – ln(1) = ln(z). Da ln(z) beliebig groß wird, wenn z sehr groß wird, existiert lim z ¥ • : 1 z 1 _ x dx = lim z ¥ • ln(z) nicht und daher auch nicht das uneigentliche Integral von f von a bis b. 745 Zeige, dass das uneigentliche Integral von 0 bis • von f: [0, • ) ¥ R mit f(x) = e ‒x existiert und berechne es. Die Funktion ‒ f ist eine Stammfunktion von f. Daher ist : 0 z f(x) dx = ‒ e ‒z + e ‒0 = 1 – e ‒z . Weil der Grenzwert lim z ¥ • (1 – e ‒z ) = 1 ist, existiert das uneigentliche Integral von 0 bis • von f und : 0 • e ‒x dx = lim z ¥ • : 0 z e ‒x dx = 1. 746 Zeige, dass das uneigentliche Integral der Funktion g: [1, • ) ¥ R mit g(x) = 1 _ x 2 existiert und berechne es. 747 Zeige, dass das uneigentliche Integral von 0 bis • der Funktion f: R ¥ R mit f(t) = t·e ‒t 2 existiert und berechne es. Zeige zuerst: Die Funktion h mit h(t) = ‒ 1 _ 2 e ‒t 2 ist eine Stammfunktion von f. 748 Überprüfe, ob das uneigentliche Integral existiert. Wenn ja, berechne es. a. : 0 • e ‒3x dx b. : 0 • sin(r)e ‒r dr c. : 2 • 1 _ k 2 – 1 dk 749 Zeige: Wenn das uneigentliche Integral : 0 • f(t) dt existiert, dann auch : 2 • f(t) dt. 750 Überlegt, für welche positiven reellen Zahlen u das uneigentliche Integral : 1 • t ‒u dt existiert. 751 Überprüfe, ob das uneigentliche Integral existiert. Wenn ja, berechne es. a. : 0 • t·sin(t) dt b. : 0 • 3x·e ‒2x 2 dx Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann überprüfen, ob ein uneigentliches Integrale existiert. 752 Welche der uneigentlichen Integrale existieren? Begründe. A : 1 • t ‒3 dt B : 1 • t ‒ 1 _ 5 dt C : 0 1 t ‒3 dt D : 0 1 t ‒ 1 _ 5 dt Ich kann uneigentliche Integrale berechnen. 753 Berechne. a. : 2 • 2·e ‒3t dt b. : ‒1 • t 2 ·e ‒t 3 dt c. : 0 • t 3 ·e ‒t 4 dt überprüfen, ob ein uneigentliches Integral auf einer Halbgeraden existiert B, C zeigen, dass ein uneigentliches Integral existiert D x y 0,2 0 0,4 0,6 0,8 1 8 9 7 10 6 5 4 3 2 1 0 D D B, D D C D D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv