Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

198 4.5 Laplace-Transformation Ich lerne die Laplace-Transformation kennen und sie für einige wichtige Funktionen zu berechnen. Ich lerne Rechenregeln für die Laplace-Transformation kennen und damit Funktionen zu berechnen, deren Laplace-Transformation gegeben ist. Ich lerne mithilfe der Laplace-Transformation lineare Anfangswertaufgaben der Ordnung 1 und 2mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Was ist eine Laplace-Transformation? Für die meisten Aufgaben in der Mathematik gibt es mehrere Wege, sie zu lösen. Welcher Weg der bessere ist, hängt von den „Randbedingungen“ der Aufgabe ab, und manchmal ist das auch nicht entscheidbar. Erinnern wir uns: Anstatt zwei positive Zahlen a und b zu multiplizieren, kann man auch ihre Logarithmen ln(a) und ln(b) berechnen, diese addieren und eine Zahl z mit ln(z) = ln(a) + ln(b) suchen. Diese Zahl ist dann das Produkt a·b. Man hat damit die Multiplikation von Zahlen auf die Addition ihrer Logarithmen zurückgeführt. Allerdings ist das nur dann von Vorteil, wenn man die Möglichkeit hat, die Logarithmusfunktion und ihre Umkehrfunktion rasch auszuwerten. In diesem Abschnitt lernen wir die Laplace-Transformation kennen, diese ordnet gewissen auf R + (Menge der nicht negativen reellen Zahlen) definierten Funktionen gewisse andere Funk- tionen zu. Diese Zuordnung ermöglicht es, das Lösen von einigen Differentialgleichungen auf das Rechnen mit rationalen Funktionen zurückzuführen. Für eine Funktion f: [0; • ) = R + ¥ R bezeichnen wir mit M f die Menge aller reellen Zahlen s, für die das uneigentliche Integral F(s) = : 0 • f(t)·e ‒st dt existiert und nennen die Funktion F: M f ¥ R , s ¦ F(s), die Laplace-Transformierte von f . Statt F schreiben wir oft L {f}. Den Übergang von f zu L {f} nennen wir die Laplace-Transformation von f. 754 Berechne die Laplace-Transformierte L {1} der konstanten Funktion 1. An der Stelle s ist L {f}(s) = : 0 • 1·e ‒st dt = ‒ 1 _ s e ‒st 1 0 • = lim z ¥ • 2 ‒ 1 _ s e ‒s·z 3 – 2 ‒ 1 _ s e ‒s·0 3 = lim z ¥ • 2 ‒ 1 _ s e ‒s·z 3 + 1 _ s Der Grenzwert lim z ¥ • 2 ‒ 1 _ s e ‒sz 3 existiert (und ist 0) genau dann, wenn ‒ s negativ, also s > 0 ist. Somit ist der Definitionsbereich M 1 = ( 0; •) und die Laplace-Transformierte der konstanten Funktion 1 ist die rationale Funktion L {f} mit L {1}(s) = 1 _ s . Laplace- Transformierte einer Funktion mcd/tns d4j4z3 die Laplace- Transformierte der konstanten Funktion 1 berechnen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv