Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

199 4.5 Laplace-Transformation 755 Berechne die Laplace-Transformierte L {f} der Exponentialfunktion f mit f(t) = e t . Für jede reelle Zahl s ist L {f}(s) = : 0 • e t e ‒st dt = : 0 • e (1 – s)t dt = 1 _ 1 – s e (1 – s)t 1 0 • = lim z ¥ • 2 1 _ 1 – s e (1 – s)z 3 – 2 1 _ 1 – s e (1 – s)·0 3 = = lim z ¥ • 2 1 _ 1 – s e (1 – s)z 3 + 1 _ s – 1 . Der Grenzwert lim z ¥ • 2 1 _ 1 – s e (1 – s)z 3 existiert (und ist 0) genau dann, wenn 1 – s negativ, also s > 1 ist. Somit ist M f = ( 1; •) und die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion ist die rationale Funktion L {f} mit L {f}(s) = 1 _ s – 1 . 756 Berechne die Laplace-Transformierte L {f} der Funktion f mit f(t) = t. Mithilfe der partiellen Integration mit f(t) = t und g’(t) = e ‒st berechnen wir zunächst L {f}(s) = : 0 • te ‒st dt = – 1 _ s ·t·e ‒st 1 0 • – : 0 • – 1 _ s e ‒st dt = lim z ¥ • 2 ‒ z _ s – 1 _ s 2 3 e ‒sz – 2 ‒ 0 _ s – 1 _ s 2 3 e ‒s·0 = = lim z ¥ • 2 ‒ z _ s – 1 _ s 2 3 e ‒sz = 0 + 1 _ s 2 = 1 _ s 2 . Dabei existiert lim z ¥• 2 ‒ z _ s – 1 _ s 2 3 e ‒sz (und ist 0) genau dann, wenn s positiv, also s > 0 ist. Somit ist der Definitionsbereich M f = ( 0; •) und die Laplace-Transformierte der identischen Funktion ist die rationale Funktion L {f} mit L {f}(s) = 1 _ s 2 . 757 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f: R + ¥ R und bestimme ihren Definitionsbereich. a. f(t) = { 1 0 für 0 ª t ª 1 für t > 1 b. f(t) = { t 0 für 0 ª t ª 1 für t > 1 c. f(t) = { 1 – t 0 für 0 ª t ª 1 für t > 1 758 Berechne die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion f: R + ¥ R mit f(x) = x 2 und bestimme ihren Definitionsbereich. 759 Berechne die Laplace-Transformierte der Potenzfunktion f: R + ¥ R mit f(x) = x 3 und bestimme ihren Definitionsbereich. 760 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f: R + ¥ R mit a. f(x) = 2 + 3x, b. f(u) = 1 + e u . Laplace-Transformatierte von Potenzfunktionen und Winkelfunktionen Durch mehrfache partielle Integration erhält man: Für alle natürlichen Zahlen n ist die Laplace-Transformierte der n-ten Potenzfunktion f mit f(x) = x n die rationale Funktion L {f} mit L {f}(s) = n! _ s n + 1 . Zur Berechnung der Laplace-Transformierten der Sinus- und der Cosinusfunktion verwenden wir wieder partielle Integration: Für positive reelle Zahlen s ist : 0 • sin(t)e ‒st dt = (‒ cos)(t)e ‒st 1 0 • – : 0 • (‒ cos)(t)(‒ s)e ‒st dt = 1 – s : 0 • cos(t)e ‒st dt und : 0 • cos(t)e ‒st dt = sin(t)e ‒st 1 0 • – : 0 • sin(t)(‒ s)e ‒st dt = 0 + s· : 0 • sin(t)e ‒st dt = = s 2 1 – s : 0 • cos(t)e ‒st dt 3 = s – s 2 : 0 • cos(t)e ‒st dt, die Laplace- Transformierte der Exponential- funktion berechnen B mcd k55g7r die Laplace- Transformierte der identischen Funktion berechnen B mcd j8w7ti B B B B Laplace- Transformierte einer Potenzfunktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv