Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

200 Differentialgleichungen daraus folgt : 0 • cos(t)e ‒st dt = s _ 1 + s 2 und : 0 • sin(t)e ‒st dt = 1 – s 2 _ 1 + s 2 = 1 _ 1 + s 2 . Die Laplace-Transformierte der Sinusfunktion ist die rationale Funktion F mit F(s) = 1 _ 1 + s 2 . Die Laplace-Transformierte der Cosinusfunktion ist die rationale Funktion F mit F(s) = s _ 1 + s 2 . 761 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f: R + ¥ R . a. f(t) = 1 – sin(t) b. f(x) = 2x 3 + e x 762 Begründe: Für beliebige zwei reelle Zahlen a und b ist die Laplace-Transformierte der Funktion f: R + ¥ R mit f(u) = a·sin(u) + b·cos(u) die Funktion F mit F(s) = a + bs _ 1 + s 2 . Argumentiere mithilfe der Rechenregeln für Integrale. 763 Begründe: Für beliebige drei reelle Zahlen a, b und c ist die Laplace-Transformierte der Funktion f: R + ¥ R mit f(x) = a·x 2 + b·x + c die Funktion F mit F(s) = a _ s + b _ s 2 + 2c _ s 3 . Argumentiere mithilfe der Rechenregeln für Integrale. Eigenschaften der Laplace-Transformation Wenn f und g Funktionen von R + nach R sind und s * M f ° M g ist, dann ist L {f + g}(s) = : 0 • (f(t) + g(t))e ‒st dt = : 0 • f(t)e ‒st dt + : 0 • g(t)e ‒st dt = L {f}(s) + L {g}(s), in Worten: „Die Laplace-Transformierte der Summe ist die Summe der Laplace-Transformierten“ (dabei ist der Definitionsbereich von L {f + g} der Durchschnitt der Definitionsbereiche von L {f} und L {g}). Wenn f eine Funktion von R + nach R , s * M f und c eine reelle Zahl ist, dann ist L (cf)(s) = : 0 • c·f(t)e ‒st dt = c· : 0 • f(t)e ‒st dt = c· L (f)(s), in Worten: „Die Laplace-Transformierte des c-Fachen einer Funktion ist das c-Fache der Laplace- Transformierten“. Fasst man diese zwei Eigenschaften zusammen, erhält man: Die Laplace-Transformation ist (homogen) linear , das heißt: Für Funktionen f und g von R + nach R und reelle Zahlen c und d ist L {c·f + d·g} = c· L {f} + d· L {g}, dabei ist der Definitionsbereich von L {c·f + d·g} der Durchschnitt der Definitionsbereiche von L {f} und L {g}. Wir leiten nun einige weitere Regeln für die Laplace-Transformierte her, dabei ist c eine positive Zahl und f: R + ¥ R eine Funktion, deren Laplace-Transformierte existiert.  Ist g die Funktion mit g(t) = f(c·t), dann ist L {g}(s) = : 0 • f(c·t)e ‒st dt = : 0 • f(c·t)e ‒s· 1 _ c ·(c·t) dt = = 1 _ c : 0 • c·f(c·t)e ‒s· 1 _ c ·(c·t) dt = 1 _ c : 0 • f(u)e ‒ s _ c ·u du = 1 _ c · L {f} 2 s _ c 3 . Laplace- Transformierte der Sinus- und der Cosinus- funktion B D D Linearität der Laplace- Transformation Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv