Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

201 4.5 Laplace-Transformation  Ist h die Funktion mit h(t) = f(t – c), falls t º c ist und h(t) = 0, falls t < c ist, dann ist L {h}(s) = : c • f(t – c)e ‒st dt = : c • f(t – c)e ‒s(t – c) e ‒cs dt = e ‒cs : 0 • f(t)e ‒st dt = e ‒cs L {f}(s). Den Graphen der Funktion h erhält man durch „Verschieben um c nach rechts“ aus dem Graphen der Funktion f.  Ist f differenzierbar, dann erhalten wir durch partielle Integration L (f’)(s) = : 0 • f’(t)e ‒st dt = = 2 lim z ¥ • (f(t)·e ‒s·z ) – f(0)e ‒s·0 3 – : 0 • f(t)(‒ s)e ‒st dt = ‒ f(0) + s· : 0 • f(t)e ‒st dt = = s· L {f}(s) – f(0).  Ist f zweimal differenzierbar, dann ist L (f’’)(s) = s· L (f’)(s) – f’(0) = s 2 · L (f)(s) – s·f(0) – f’(0). Wir fassen zusammen: Für alle positiven reelle Zahlen c gilt: Ist g die Funktion mit g(t) = f(c·t), dann ist L {g}(s) = 1 _ c · L {f} 2 s _ c 3 . Ist h die Funktion mit h(t) = f(t – c), falls t º c ist und h(t) = 0, falls t < c ist, dann ist L {h}(s) = e ‒cs · L {f}(s). In Worten: Eine Verschiebung des Graphen der Funktion f bewirkt eine „Dämpfung“ ihrer Laplace- Transponierten (durch Multiplikation mit einer streng monoton fallenden Exponentialfunktion). Wenn f differenzierbar ist, dann ist L {f’}(s) = s· L {f}(s) – f(0). Die Laplace-Transformation „führt also die Differenziation in die Multiplikation mit s über“. Wenn f zweimal differenzierbar ist, dann ist L {f’’}(s) = s2· L {f}(s) – s·f’(0) – f(0). Mit diesen Rechenregeln können wir die Laplace-Transformierte von vielen weiteren Funktionen berechnen. f(t) (f: R + ¥ R , t º 0) L { f } (s) (s * M f ) a * R a _ s a·t a _ s 2 a·t 2 2a _ s 3 e ct 1 _ s – c t·e ct 1 _ (s – c) 2 sin( ω t) ω _ ω 2 + s 2 cos( ω t) s _ ω 2 + s 2 e ct ·sin( ω t) ω _ ω 2 + s 2 e ct ·cos( ω t) s – c __ ω 2 + (s – c) 2 Ähnlichkeits- satz Verschiebungs- satz Laplace- Transformation der Ableitung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv