Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

204 Differentialgleichungen 780 Finde eine Funktion f: R + ¥ R , deren Laplace-Transformierte die Funktion L {f} ist. a. L {f}(s) = s _ 25 + s 2 b. L {f}(s) = 4s _ 36 + s 2 c. L {f}(s) = 18 _ 9 + s 2 781 Finde eine Funktion f: R + ¥ R , deren Laplace-Transformierte die Funktion L {f} ist. a. L {f}(s) = 30 __ s 2 + 10s + 125 b. L {f}(s) = s + 3 __ s 2 + 6s + 25 c. L {f}(s) = 4s – 8 __ s 2 – 2s + 68 782 Finde eine Funktion f: R + ¥ R , deren Laplace-Transformierte die Funktion L {f} ist. a. L {f}(s) = 1 _ s + 2 _ s 2 + 3 _ s 3 b. L {f}(s) = 2 _ s + 1 _ (s – 3) 2 c. L {f}(s) = 2 _ 4 + s 2 + 1 _ (s – 3) 2 783 Finde eine Funktion f: R + ¥ R , deren Laplace-Transformierte die Funktion F mit F(s) = s 2 + 2s – 2 __ (4 + s 2 )·(s – 3) ist. Wir zerlegen die rationale Funktion F in Partialbrüche, suchen also Zahlen a, b und c so, dass für alle reellen Zahlen s im Definitionsbereich von F gilt: F(s) = as + b _ 4 + s 2 + c _ s – 3 . Dazu muss as + b _ 4 + s 2 + c _ s – 3 = s 2 + 2s – 2 __ (4 + s 2 )·(s – 3) sein. Wir multiplizieren mit (4 + s 2 )(s – 3) und erhalten (as + b)(s – 3) + c(4 + s 2 ) = s 2 + 2s – 2. Es ist (as + b)(s – 3) + c(4 + s 2 ) = (a + c)s 2 + (b – 3a)s + 4c – 3b, daher muss a + c = 1, b – 3a = 2 und 4c – 3b = ‒ 2 sein. Als Lösung dieses Systems von drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten erhalten wir a = 0, b = 2 und c = 1. Somit ist F(s) = 2 _ 4 + s 2 + 1 _ s – 3 . Der Tabelle entnehmen wir: 2 _ 4 + s 2 = L {f 1 } und 1 _ s – 3 = L {f 2 }, dabei sind f 1 und f 2 die Funktionen mit f 1 (t) = sin(2t) und f 2 (t) = e 3t . Also ist f mit f(t) = sin(2t) + e 3t die gesuchte Funktion. 784 Finde eine Funktion f so, dass für alle positiven reellen Zahlen s gilt: a. L {f}(s) = s + 5 __ s 2 – 4s + 3 b. L {f}(s) = 1 __ s 3 – 4s 2 + 3s c. L {f}(s) = 2 _ 7 + s 2 785 Finde eine Funktion f so, dass für alle positiven reellen Zahlen s gilt: a. L {f}(s) = 6 _ 4s 2 + 7 b. L {f}(s) = 5s – 7 __ s 2 + 12s + 35 c. L {f}(s) = 5s – 8 __ s 2 + 3s – 4 786 Für alle Zahlen t ist sin 2 t + π _ 2 3 = cos(t). Kann man daher den Verschiebungssatz anwenden, um die Laplace-Transformierte der Cosinusfunktion zu berechnen, wenn die der Sinusfunktion schon bekannt ist? Begründe. 787 Gib die Vorgangsweise zur Berechnung einer Funktion f an, deren Laplace-Transformierte die Funktion F mit F(s) = 1 __ s 2 + ps + q ist. Dabei sind p und q gegebene reelle Zahlen. Unterscheide dabei die drei Fälle: Die quadratische Funktion g mit g(s) = s 2 + ps + q hat a. zwei reelle Nullstellen, b. nur eine reelle Nullstelle, c. keine reellen Nullstelle. B B B mit Partial- bruchzerlegung eine Funktion bestimmen, deren Laplace- Transformation gegeben ist B mcd 93e9e6 B B D C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv