Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

210 Differentialgleichungen 802 Berechne eine Näherungslösung an der Stelle 1 für die Anfangswertaufgabe y’ = y – g mit g(x) = x 2 und y(0) = 2 im Intervall [0; 1]. Verwende dazu 5 Schritte mit gleicher Schrittweite 0,2. Vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionswert der exakten Lösung an der Stelle 2. Es ist y i + 1 = y i + (y i – t i 2 )·0,2. Wir schreiben das Verfahren in einer Tabelle an: i t i y i 0 0 2 1 0,2 2 + (2 – 0 2 )·0,2 = 2,4 2 0,4 2,4 + (2,4 – 0,2 2 )·0,2 = 2,872 3 0,6 2,872 + (2,872 – 0,4 2 )·0,2 = 3,4144 4 0,8 3,4144 + (3,4144 – 0,6 2 )·0,2 = 4,02528 5 1 4,02528 + (4,02528 – 0,8 2 )·0,2 = 4,702336 Die Anfangswertaufgabe y’ = y – g mit g(x) = x 2 und y(0) = 2 können wir auch exakt lösen und erhalten die Funktion f mit f(x) = x 2 + 2x + 2 als Lösung. Deren Funktionswert an der Stelle 1 ist f(1) = 5. Der Fehler der Näherungslösung beträgt also nur ca. 6% der exakten Lösung. 803 a. Berechne eine Näherungslösung an der Stelle 1 für die Anfangswertaufgabe y’ = y und y(0) = 2 im Intervall [0; 1]. Verwende dazu 5 Schritte mit gleicher Schrittweite 0,2. b. Vergleiche das Ergebnis mit dem Funktionswert der exakten Lösung an der Stelle 1. c. Ermittle, um wie viel Prozent sich der Fehler verkleinert, wenn statt 5 Schritten 10 Schritte mit Schrittweite 0,1 ausgeführt werden. 804 Berechne eine Näherungslösung der Anfangswertaufgabe y’ = y 2 + g mit g(x) = x und y(0) = 1 im Intervall [0; 1] in … a. … 5 Schritten mit gleicher Schrittweite. b. … 10 Schritten mit gleicher Schrittweite. c. … 5 Schritten mit den Schrittweiten 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,3. d. … 5 Schritten mit den Schrittweiten 0,3; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. e. Vergleiche die Ergebnisse. Skizziere in allen Fällen den Graphen der Näherungslösung. 805 Berechne eine Näherungslösung der Anfangswertaufgabe y’ = 2·y + g mit g(t) = t + 1 in … a. … 5 Schritten mit gleicher Schrittweite. b. … 10 Schritten mit gleicher Schrittweite. c. Vergleiche die Ergebnisse. Skizziere in allen Fällen den Graphen der Näherungslösung. 806 Schreibe mit einer geeigneten Software ein Programm, das nach Eingabe von n, b > 0 und y 0 mit dem expliziten Eulerverfahren mit n Schritten und Schrittweite b _ n eine Näherung von y(b) für die Anfangswertaufgabe y’ = y 2 + g mit g(x) = x und y(0) = y 0 berechnet. 807 Berechne mit dem Programm in Aufgabe 806 eine Näherung von y(2) bei 20, 200 und 500 Schritten. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann das Eulerverfahren anwenden, um Anfangswertprobleme numerisch zu lösen. 808 Berechne näherungsweise den Funktionswert y(0,5) der Lösung der Anfangswertaufgabe y’ = 2y + 1 und y(0) = 1 an der Stelle 0,5. Verwende dazu 5 Schritte mit der Schrittweite 0,1. Rechne mit 4 Stellen nach dem Komma. eine Anfangswert- aufgabe näherungs- weise mit dem Eulerverfahren berechnen B ggb n5k9ic B, C B, C B, C A, B A, B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv